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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 所对的边，且 $\sin A = 2 \sin B$ ， $2 a \cos C + b = 0$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2、命题“ $\exists x \in [1, 2]$ ， $x^{3} + 2 x - a > 0$ ”为假命题的一个必要不充分条件是（）

A、 $a \geq 11$ B、 $a \leq 11$ C、 $a \geq 12$ D、 $a \leq 12$

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3、某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前 $200$ 名学生分布的扇形图（如图）和前 $200$ 名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（）

A、成绩前 $200$ 名的学生中，高一人数比高二人数多 $30$ 人 B、成绩前 $100$ 名的学生中，高一人数不超过 $50$ 人 C、成绩前 $50$ 名的学生中，高三人数不超过 $32$ 人 D、成绩第 $51$ 名到第 $100$ 名的学生中，高二人数比高一人数多

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4、数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的方差 $s^{2} = 0$ ，则下列数字特征一定为0的是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、极差

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5、已知在 $△ A B C$ 中， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ ，记 $△ A B C$ 的面积为S．

(1)、请利用所学过的相关知识证明： $S = \frac{1}{2} |(x_{1} - x_{3}) (y_{2} - y_{3}) - (x_{2} - x_{3}) (y_{1} - y_{3})|$ ；

(2)、已知O为坐标原点，曲线 $f (x) = x^{3} - 3 x + λ$ 在点 $P (m, f (m)) (m \neq 0)$ 处的切线与该曲线的另一个交点为Q，若存在 $m \in [1, 2]$ ，使得 $△ O P Q$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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6、已知抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点F到顶点的距离为1.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且 $\vec{A F} = μ \vec{F B}$ ， $μ \in [4, 9]$ ，求直线l在x轴上的截距的取值范围.

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7、已知 $△ A B C$ 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 $a \sin A - c \sin C = (a - b) \sin B$ ．

(1)、求内角C；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围．

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ， M、N分别是BC、 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $M N ⊥$ 平面 $A B_{1} M$ ；

(2)、求平面 $A B_{1} M$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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9、现代科技日新月异，电子产品更是更新换代迅速，某手机开发公司推出一款新手机，为了解某地区消费者对新手机的满意度，从中随机调查了150名消费者，得到如下数据：
满意
不满意
男
60
40
女
40
10

(1)、能否有97.5%的把握认为消费者对新手机的满意度与性别有关；

(2)、若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用 $ξ$ 表示不满意的人数，求 $ξ$ 的分布列与数学期望．
参考数据：
$α$
0.150
0.100
0.050
0.025
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
5.024
（ $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ）

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10、 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, m)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{1} ln x_{2} - x_{2} ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}} > - 1$ ，则实数m的取值范围为.

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11、已知O为坐标原点，F为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，若C上存在一点P，使得 $△ F O P$ 为等边三角形，则椭圆C的离心率为.

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12、口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 $E (X) =$ .

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + a (x < 0) \\ x - b (x \geq 0) \end{array}$ 的零点为 $- 3$ 和1，则 $a + b =$ ．

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14、直线 $l_{1}$ ： $m (2 x - 3) + 2 n y = 0$ 与 $l_{2}$ ： $n (2 x - 7) - 2 m y = 0 (m, n \in R, m^{2} + n^{2} \neq 0)$ 的交点为P，记点P的轨迹为 $C_{1}$ ，动点Q在曲线 $C_{2}$ ： $y = e^{2 x - 1}$ 上，下列选项正确的有（）

A、若点 $(\frac{5}{2}, 1) \in C_{1}$ ，则 $\frac{m}{n} = - 1$ B、 $C_{1}$ 是面积为 $2 π$ 的圆 C、过Q作 $C_{1}$ 的切线，则切线长的最小值为 $\sqrt{3}$ D、有且仅有一个点Q，使得 $C_{2}$ 在Q处的切线被 $C_{1}$ 截得的线段长为2

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15、甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（）

A、该零件出自于甲加工的概率为0.25 B、该零件是次品的概率为0.0525 C、若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 $\frac{3}{7}$ D、若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3

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16、设i为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 2$ ，则（）

A、 $z$ 的虚部为1 B、 $|z| = 2$ C、 $z$ 在复平面内的对应点位于第一象限 D、 $z^{2} = 2$

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17、2160的不同正因数个数为（）

A、42 B、40 C、36 D、30

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18、体积为4的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A A_{1} = 1$ ，则该长方体的最小外接球表面积为（）

A、 $\frac{9 π}{2}$ B、 $9 π$ C、 $\frac{11 π}{2}$ D、 $11 π$

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19、高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表：
温度x（℃）
6
8
10
病毒数量y（万个）
30
22
20
由上表中的数据求得回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + a$ ，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（）
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\bar{y} = \hat{b} \bar{x} + \hat{a}$

A、12 B、10 C、9 D、11

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20、已知定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 5) = f (x)$ ， $f (1) = 5$ ，则 $f (2024) =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- 2024$ D、2024

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	满意	不满意
男	60	40
女	40	10

$α$	0.150	0.100	0.050	0.025
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	5.024

温度x（℃）	6	8	10
病毒数量y（万个）	30	22	20