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相关试卷

1、若双曲线 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则 $\frac{m}{n} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、-2 C、 $- \frac{1}{4}$ D、-4

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2、定义可导函数 $y = f (x)$ 在x处的弹性函数为 $f^{'} (x) \cdot \frac{x}{f (x)}$ ，其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．在区间D上，若函数 $f (x)$ 的弹性函数值大于1，则称 $f (x)$ 在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作 $f (x)$ 的弹性区间．
（1）若 $r (x) = e^{x} - x + 1$ ，求 $r (x)$ 的弹性函数及弹性函数的零点；
（2）对于函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} + \ln x - t x$ （其中e为自然对数的底数）
（ⅰ）当 $t = 0$ 时，求 $f (x)$ 的弹性区间D；
（ⅱ）若 $f (x) > 1$ 在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．

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3、已知函数 $f (x) = a \ln x - x (a > 0)$ ．
（1）当 $a = e$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；
（2）讨论函数 $f (x)$ 的零点个数．

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4、已知函数 $f (x) = {l o g}_{a} \frac{4^{x} + 1}{2^{x}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）

(1)、试判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(3)、已知 $g (x) = x - 2 \sqrt{x}$ ，若 $\forall x_{1} \in [- 4, 4], \exists x_{2} \in [0, 4]$ ，使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) \geq 2$ ，求实数a的取值范围．

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5、函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (x) + f (x + 2)$ ，若 $f (1) = 2 ， f (11) = 3$ ，则 $f (2025) =$

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6、若 $m \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x + m ln x$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $m (x_{1} x_{2} + x_{2}^{2})$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{27}$ B、 $\frac{4}{27}$ C、 $\frac{6}{27}$ D、 $\frac{8}{27}$

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7、已知函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = 2^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称， $g (x)$ 为奇函数，且当 $x > 0$ 时， $g (x) = f (x) - x$ ，则 $g (- 8) =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 6$ C、5 D、6

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8、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$

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9、集合 $A = {x ∣ - 2 < x \leq 2}, B = {- 2, - 1, 0, 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 1, 2}$ B、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$

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10、若复数 $z = (1 - i) (1 + 2 i)$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、10

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11、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |- 1 < x < 2\}, B = \{x |0 < x \leq 3\}$ ．求：

(1)、 $A \cap B$ 及 $A \cup B$ ；

(2)、 $∁_{U} (A \cup B)$ 及 $A \cap (∁_{U} B)$

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12、若函数 $f (x) (x \in R)$ 是周期为4的奇函数，且在 $[0, 2]$ 上的解析式为 $f (x) = \{\begin{cases} x (1 - x), (0 \leq x \leq 1) \\ \cos π x, 1 < x \leq 2 \end{cases}$ ，则 $f (\frac{11}{2}) + f (\frac{22}{3})$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{2}{9}$

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13、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2) + f (x) = 0$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (\frac{1}{2}) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2025} k f (k - \frac{1}{2}) =$ （）

A、2025 B、 $- 2025$ C、4050 D、 $- 4050$

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14、无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项按如下规律排列： $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \cdot \cdot \cdot, \frac{1}{k}, \frac{2}{k}, \cdot \cdot \cdot, \frac{k - 1}{k}, \cdot \cdot \cdot, k \geq 2, k \in N_{+}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $a_{16}$ ．

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的各项为 $a_{1}, a_{2} + a_{3}, a_{4} + a_{5} + a_{6}, a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10}, \cdot \cdot \cdot$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

(3)、是否存在正整数 $n$ ，使得 $S_{n} < 10$ ， $S_{n + 1} \geq 10$ 成立？若存在，求 $a_{n}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $a_{4} = b_{2}$ ， $S_{3} = 15$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n} \cdot b_{n} ， n 为奇数 \\ \frac{(3 - 4 n) b_{n}}{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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16、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ ．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3$ （ $n$ 为正整数），则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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18、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，若数列 $\{a_{n} + S_{n}\}$ 既是等差数列，又是等比数列，则下列说法正确的有（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、 $\{\frac{ln a_{n}}{n}\}$ 是等比数列 C、 $\{S_{n}\}$ 为递增数列 D、数列 $\{n (n - 1) a_{n}\}$ 的最大项是第3项

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19、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，公差 $d \neq 0$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $d = 2$ B、 $a_{1} = 4$ C、 $a_{n} = 2 n - 6$ D、若 $S_{n} > 0$ ，则 $n$ 的最小值为6

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20、记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + n (n \in N^{*})$ ，则下列选项错误的是（）

A、 $a_{2} = 4$ B、数列 ${\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 是公差为1的等差数列 C、数列 ${2^{a_{n}}}$ 是公比为4的等比数列 D、数列 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前2025项和为 $- 2026$

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