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相关试卷

1、 $(1 + \frac{1}{x}) {(1 - x)}^{6}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、 $- 5$ B、5 C、15 D、35

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2、已知 $\vec{a} = (\sqrt{3} \sin x, - \cos x), \vec{b} = (\cos x, \cos x), f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、若 $x \in (0, π)$ ，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $f (B) = \frac{1}{2}$ 且 $b = \sqrt{3}$ .求 $a + c$ 的取值范围．

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3、某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分 $X$ 的分数转换区间为 $[30, 100]$ ，若等级分 $X \sim N (80, 25)$ ，则（）
参考数据： $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ； $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ； $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

A、这次考试等级分的标准差为25 B、这次考试等级分超过80分的约有450人 C、这次考试等级分在 $[65, 95]$ 内的人数约为997 D、 $P (70 < X \leq 75) = 0.1359$

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4、金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形．

(1)、证明： $A E ∥$ 平面CDF；

(2)、证明：四棱锥 $E - A B C D$ 是正四棱锥；

(3)、试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．

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5、某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分：
10.1
9.8
10.0
9.7
10.0
9.8
经计算得 $\frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 98.03$ ，其中 $x_{i}$ 为抽取的第i件产品的评分， $i = 1, 2, 3, \dots, 6$ ．

(1)、求这组样本平均数和方差；

(2)、从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率；

(3)、若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．再从改进后生产的产品中随机抽取6件产品，估计这6件产品的平均等级是否为一等品？说明理由．

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6、已知向量 $\overset{⃑}{O A} = (2, 1)$ ， $\overset{⃑}{O B} = (3, - 2)$ ， $\overset{⃑}{O C} = (6 - m, - 3 - m)$ ．
（1）若点A，B，C共线，求实数m的值；
（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．

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7、对于一组数据2，3，3，4，6，6，8，8，则第50百分位数是．

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8、堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（）

A、阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B、鳖臑的四个面均为直角三角形 C、阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D、堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等

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9、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F，G分别是棱BC， $C C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，点P为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中，
① $B P ∥$ 平面EFG
②平面 $E F G ∥$ 平面 $B C_{1} A_{1}$
③所有点P在直线 $B_{1} D_{1}$ 上
④BP与 $D D_{1}$ 所成的角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
正确命题的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3, & x \leq 0 \\ - 2 + \ln x, & x > 0 \end{array}$ ，方程 $f (x) = k$ 有3个实数解，则k的取值范围是（）

A、 $- 4 < k \leq - 3$ B、 $- 4 < k < - 3$ C、 $- 3 < k < 0$ D、 $k > 0$

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11、某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了 $10 %$ 的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如下表：
年级
高一
高二
高三
抽样人数
36
34
30
平均身高
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{z}$
则该校高中学生的平均身高可估计为（）

A、 $3.6 \bar{x} + 3.4 \bar{y} + 3.0 \bar{z}$ B、 $\frac{\bar{x} + \bar{y} + \bar{z}}{2}$ C、 $0.36 \bar{x} + 0.34 \bar{y} + 0.30 \bar{z}$ D、 $\frac{\bar{x} + \bar{y} + \bar{z}}{3}$

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12、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为 $84 π$ ，则圆台较小底面的半径为（）

A、8 B、7 C、5 D、3

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13、在复平面内，复数 $z = - 1 - i$ 对应的点位于（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、记函数 $p_{0} (x) = q_{0} (x) = x, p_{n} (x) = e^{p_{n - 1} (x)}, q_{n} (x) = ln q_{n - 1} (x), n \in N^{*}$ .

(1)、证明： $q_{n} (p_{n} (x)) = x, n \in N^{*}$ ；

(2)、记 $q_{n} (x)$ 的定义域为 $D_{n}, n \in N^{*}, p_{1} (- x_{0}) + q_{1} (x_{0}) = 0$ ．若任意 $x \in D_{n}, p_{n} (a x) \geq q_{n} (x) + x_{0} + \frac{1}{x_{0}} + 1$ ，求 $a$ 的取值范围．

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15、在正四面体 $A B C D$ 中，点 $P ， Q ， R$ 分别在棱 $A B ， A C ， A D$ 上（不与顶点重合），且 $P Q = P R ．$

(1)、若 $A Q = A R + 1$ ，证明 $： A P = 2 A R + 1 ；$

(2)、求 $sin ∠ P Q R$ 的取值范围．

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16、小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字．

(1)、求五张卡片上的数字都不相同的概率；

(2)、证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5．

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17、已知点 $P (1, 2)$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 在第一象限的交点，另一交点为 $Q$ .

(1)、求 $p, r$ ；

(2)、若点 $R$ 在圆 $O$ 上，直线 $P R$ 为抛物线 $C$ 的切线，求 $△ P Q R$ 的周长．

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18、当 $x > 0$ ， $θ$ 为锐角时，恒有 $\ln x + \ln \cos θ + (x^{2} + 1) \ln \sin θ \leq m$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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19、函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - a ， x > a \\ x - 2 a ， x \leq a \end{matrix}$ 至多有个零点．

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20、设一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 满足 $x_{i} < x_{i + 1} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则（）

A、拿走 $x_{3}$ ，这组数据的方差变大 B、拿走 $x_{2}, x_{4}$ ，这组数据的方差变大 C、拿走 $x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，这组数据的方差减小 D、拿走 $x_{1}, x_{2}, x_{4}, x_{5}$ ，这组数据的方差减小

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年级	高一	高二	高三
抽样人数	36	34	30
平均身高	$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$