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相关试卷

1、已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m ∥ α$ ，则 $n ∥ α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ∥ β$

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2、已知复数z满足 $\frac{\bar{z} - 2}{z + 1} = 2 i$ ，则复数z在复平面内的对应点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = P C = P D$ ，底面 $A B C D$ 是平行四边形，O点为 $A D$ 的中点， $O B ⊥ O C$ ， $∠ A O B = 30 °$ ， $P O = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D = 2$ ，求平面 $P O B$ 与平面 $P C D$ 所成的二面角的正切值：

(3)、当 $P A$ 与平面 $P C D$ 的所成角最大时，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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4、风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为 $\frac{2 π}{3}$ ，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为 $h (t) = A sin (ω t + φ) + B$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < π$ ）．

(1)、求函数 $h (t)$ 的解析式；

(2)、当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长．

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5、已知 $\vec{a} = (\sin x, \cos x)$ ， $\vec{b} = (2 \sqrt{3} \cos x, - 2 \cos x)$ ， $\vec{c} = (- \cos x, 3 \sin x)$ ．

(1)、若 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，求 $\sin 2 x$ ；

(2)、若函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值，以及相应的x的值．

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6、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线交于点O，点E在 $B C$ 上，且 $B C = 4 B E$ ，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点G，若 $\vec{C G} = m \vec{A B} + n \vec{A D}$ ，则 $m^{2} + n^{2} =$ ．

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7、在复平面内，i为虚数单位，若复数z满足 $z (1 + i) = i$ ，则 $|z| =$ ．

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8、《九章算术》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），已知该正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则下列命题正确的是（）

A、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球的体积等于该牟合方盖的内切球的体积 B、该牟合方盖的内切球的体积与其中一个圆柱体的体积之比为2∶3 C、该牟合方盖的内切球被平面 $A_{1} C_{1} D$ 截得的截面面积为 $\frac{π}{3}$ D、以正方体的顶点A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积与该牟合方盖的内切球的体积之比为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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9、函数 $f (x) = A cos (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < 0$ ）的部分图象如图所示，下列正确的是（）

A、 $ω = 2$ ， $φ = - \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、若 $f (\frac{α}{2}) = 1$ ，则 $f (α - \frac{π}{6}) = - 1$ D、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，函数 $g (x) = f (x - \frac{π}{12})$ 是奇函数

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10、如图，在 $△ A B C$ 中，点D为 $B C$ 的中点，点E为 $A C$ 的四等分点（靠近点C）， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{A C}$ B、 $A D = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - \frac{7}{4}$ D、 $\vec{A E}$ 是 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量

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11、某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为 $30 °$ ， $60 °$ ， $45 °$ ，且 $A B = B C = 50 m$ ，则该古建筑的高度为（）

A、 $15 \sqrt{10} m$ B、 $20 \sqrt{5} m$ C、 $10 \sqrt{15} m$ D、 $50m$

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12、在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $|F_{1} |=| F_{2}|$ ， $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的夹角为 $α$ ，下列结论中正确的是（）

A、当 $α = \frac{2 π}{3}$ 时， $|F_{1}| = |G|$ B、当 $α = \frac{π}{3}$ 时， $|F_{2}| = \frac{|G|}{2}$ C、当 $α = \frac{π}{2}$ 时， $|F_{1}|$ 有最小值 D、 $α$ 越小越费力， $α$ 越大越省力

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13、已知 $\tan (α + \frac{π}{4}) = 7$ ，则 $\tan 2 α =$

A、 $\frac{7}{24}$ B、 $\frac{24}{7}$ C、 $- \frac{7}{24}$ D、 $- \frac{24}{7}$

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14、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = \sin (x - \frac{2 π}{3})$ B、 $g (x) = \sin (4 x - \frac{2 π}{3})$ C、 $g (x) = \sin x$ D、 $g (x) = sin 4 x$

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15、等腰直角 $△ A B C$ 的面积为1，以斜边 $A B$ 所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2π}{3}$ C、 $π$ D、 $2π$

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16、已知平面向量 $\vec{a} = (x - 1, 4)$ ， $\vec{b} = (2, x + 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、5

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17、在复平面内，i为虚数单位，若复数 $z = (1 + i) (2 - i)$ ，则z的实部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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18、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n, n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”

(1)、判断 $g (x) = 2 cos x$ ， $x \in [0, 4 π]$ 是否为 $f (x) = sin x + \sqrt{3} cos x$ ， $x \in [0, π]$ 的“4重覆盖函数”，并说明理由；

(2)、若 $g (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ ， $x \in [- \frac{π}{12}, π]$ 是 $f (x) = tan x$ ， $x \in [0, m]$ 的“3重覆盖函数”，求 $m$ 的范围；

(3)、若 $g (x) = \frac{1 - |\sin ω x|}{x}$ ， $ω > 0$ ， $x \in (0, + \infty)$ 是 $f (x) = \frac{1}{x}$ ， $x \in [5, 6]$ 的“9重覆盖函数”，求 $ω$ 的取值范围．

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19、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $cos C = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $a = 2 \sqrt{5}$ ， $A B$ 边上的中线 $C D = \sqrt{5}$ ．

(1)、求 $b$ ；

(2)、求 $A$ ；

(3)、若 $E$ ， $F$ 分别为边 $A C$ ， $B C$ 上的动点，现沿线段 $E F$ 折叠三角形，使顶点 $C$ 恰好落在 $A B$ 边上 $G$ 点，求 $C E$ 长度最小值．

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20、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A E ⊥$ 平面 $C D E$ ，已知 $A E = D E = 2$ ， $F$ 为线段 $D E$ 的中点.

(1)、求证： $B E / /$ 平面 $A C F$ ；

(2)、求四棱锥 $E - A B C D$ 的体积.

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