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相关试卷

1、如图，底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 $S$ 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的外接球表面积为.

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $cos A = \frac{4}{5}, cos B = \frac{1}{2}, b = \sqrt{3}$ ，则 $a =$ .

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3、已知向量 $\vec{a} = (x, 1), x \in R, \vec{b} = (2, 4)$ ，若 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $x =$ .

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4、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A B = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}, λ \in [0, 1], μ \in[0, 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|D_{1} P|$ 的最小值为1 B、当 $λ = 1, μ = \frac{1}{2}$ 时，平面 $P B D_{1}$ 截得正方体的截面面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、当 $λ + μ = \frac{1}{2}$ 时， $A P$ $∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ D、当 $λ = μ (λ \neq 0)$ 时， $A_{1} D ⊥$ 平面 $P B D_{1}$

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5、某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生､政史地､物化地､物化政､生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（）

A、该校高一学生总人数为800 B、该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C、该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多 D、按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人

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6、在复平面内， $O$ 为坐标原点，已知向量 $\vec{O A}, \vec{O B}$ 对应的复数分别为 $6 + 5 i, - 3 + 4 i$ ，则以下正确的是（）

A、点 $B$ 位于第二象限 B、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} < 0$ C、向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $9 + i$ D、 $|\vec{B A}| = \sqrt{82}$

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7、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x - cos ω x (0 < ω < 1)$ 的图象关于直线 $x = \frac{4 π}{3}$ 对称， $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x) = 1$ 在区间 $(0, a)$ 内恰有3个解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{17 π}{3}, \frac{19 π}{3})$ B、 $(\frac{17 π}{3}, \frac{19 π}{3}]$ C、 $(5 π, \frac{19 π}{3})$ D、 $(5 π, \frac{19 π}{3}]$

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8、已知 $O$ 为四边形 $A B C D$ 所在平面内一点，满足 $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D}$ ，若 $A D = 2 A B = 2$ ，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}, E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 是 $C D$ 中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、3

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9、已知正四棱锥的侧棱长为 $2 \sqrt{41}$ ，侧面与底面所成二面角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ ，则下列结论不正确的是（）

A、正四棱锥的底面边长为16 B、正四棱锥的高为6 C、正四棱锥的体积为 $512 \sqrt{3}$ D、正四棱锥的表面积为576

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10、在 $△ A B C$ 中，已知 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{B D} + \vec{C D} = \vec{0}$ ，用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A D}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b}$

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11、设 $P (A) = 0.4, P (A B) = 0.2$ ，且 $A, B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.9

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12、下列各组数的方差最小的是（）

A、 $5, 5, 5, 5, 5$ B、 $4, 4, 5, 6, 6$ C、 $3, 3, 4, 4, 4$ D、 $5, 6, 7, 8, 9$

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13、已知复数 $z_{1} = 2 - i, z_{2} = 1 + i$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $3 + i$ C、3 D、1

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 2$ ，且满足 $a tan A cosB + b sin A = 2 c tan A cos B$

(1)、求角 $B$ 的大小

(2)、 $△ A B C$ 的内心为 $I$ ，求 $△ A C I$ 周长的取值范围.

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15、设 $2024^{a} = 2025, b = {log}_{2023} 2026, 2022^{c} = 2026$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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16、已知集合 $A = \{x ∣ 0 \leq x \leq a\}, B = \{x ∣ x^{2} - x \leq 0\}$ ，若 $B \cap A = B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $[0, 1]$ D、 $(1, + \infty)$

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17、已知正数 $x, y$ 满足 $\frac{2}{x + 1} + \frac{8}{y} = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、17 B、16 C、15 D、14

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18、已知随机变量 $ξ$ 的取值为非负整数，其分布列为：
$ξ$
0
1
2
…
n
P
$p_{0}$
$p_{1}$
$p_{2}$
…
$p_{n}$
其中 $p_{i} \in [0, 1]$ ，且 $\sum_{i = 0}^{n} p_{i} = 1$ ．由 $ξ$ 生成的函数为 $f (x) = \sum_{i = 0}^{n} p_{i} x^{i}$ ， $D (ξ) = \sum_{i = 0}^{n} {(i - E (ξ))}^{2} \cdot p_{i}$ ．

(1)、若 $ξ$ 生成的函数为 $f (x) = \frac{1}{10} + \frac{1}{5} x + \frac{2}{5} x^{3} + \frac{3}{10} x^{5}$ ，当 $ξ$ 为奇数时，求 $P (ξ)$ 的值；

(2)、在盒①中有1个红球，在盒②中有2个蓝球和4个绿球，随机选盒取出1个球，选择盒①的概率为 $\frac{1}{7}$ ．已知随机变量 $ξ$ 生成的函数为 $f (x) = \sum_{i = 0}^{3} p_{i} x^{i}$ ，其中 $p_{i} (i = 1, 2, 3)$ 分别对应取到红球、蓝球、绿球的概率．证明： $D (ξ) = f^{″} (1) + f^{'} (1) - {[f^{'} (1)]}^{2}$ ，并计算 $D (ξ)$ 的值；（ $f^{″} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}$ ）

(3)、已知三个自然数的和为9，用 $ξ$ 表示这三个数中最小的数，此时由 $ξ$ 生成的函数记为 $t (x)$ ，令 $g (x) = t^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的极小值点．

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19、如图1，在平面多边形 $A P B C D$ 中， $△ A P B$ 为直角三角形， $∠ D A B = \frac{2 π}{3}$ ， $A D ∥ B C$ ， $2 P A = 2 A B = 2 B C = A D$ ．如图2，现将 $△ A P B$ 沿轴 $A B$ 向上翻折到图中的 $△ A P^{'} B$ 处，此时 $P^{'} C ⊥ C D$ ， $2 P^{'} M = M D$ ．

(1)、证明： $C D ⊥ P^{'} A$ ；

(2)、证明： $P^{'} B / /$ 平面 $M A C$ ；

(3)、求平面 $M A C$ 与平面 $P^{'} A B$ 夹角的余弦值．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且点 $(1, \frac{3}{2})$ 在椭圆C上，过点 $(- 1, 0)$ 的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线l的斜率k存在．

(1)、若线段 $A B$ 的中点的横坐标为 $- \frac{1}{2}$ ，求椭圆C的方程并计算点A到y轴的距离与点B到y轴的距离之和；

(2)、F为椭圆C的右焦点，若 $△ A B F$ 面积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{5}$ ，求直线l的方程．

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$ξ$	0	1	2	…	n
P	$p_{0}$	$p_{1}$	$p_{2}$	…	$p_{n}$