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相关试卷

1、中国古建筑具有悠久的历史，屋顶的设计形式有硬山、悬山、攒尖、歇上、庑殿等，具有独特的线条美感，其曲线之美让人称奇．曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，定义如下：若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率 $K = \frac{f^{″} (x)}{{\{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}\}}^{\frac{3}{2}}}$ ．

(1)、若曲线 $f (x) = e^{x} + x + 1$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} + 1$ 在 $(0, 2)$ 处的曲率分别为 $K_{1}$ ， $K_{2}$ ，求证： $K_{2} > K_{1}$ ；

(2)、求曲线 $h (x) = \sin x + \cos x (x \in R)$ 曲率的平方 $K^{2}$ 的最大值．

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2、已知A，B两点的坐标分别为 $(- 1, 0)$ ， $(1, 0)$ ．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3．

(1)、求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

(2)、过点 $P (1, 1)$ 的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点?为什么?

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3、如图1，已知直角梯形AEFD中， $∠ A = ∠ D = 90 °$ ，点B，C分别在AE，DF上，且 $B C ⊥ A E$ ， $\vec{E F} \cdot \vec{C E} = 0$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $E F = 2$ ，将图1沿BC翻折，使平面 $A B C D ⊥$ 平面BEFC得图2．

(1)、在线段CF上是否存在一点M，使得A、E、M、D四点共面．若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；

(2)、当 $A B = B E$ 时，求平面AEF与平面CEF的夹角的正切值．

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4、已知函数 $f (x) = 3 \cos^{2} (x - \frac{π}{3}) + \sin^{2} (x - \frac{π}{3}) - 2 \sin^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, t]$ 上的最大值为2，求t的取值范围．

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5、某省采用“3+1+2”新高考模式，其中“3”为语文、数学和外语3门全国统考科目；“1”为考生在物理和历史中选择1门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物4门中再选择2门．为了研究高一年级学生的选科类别是否与选生物有关联，在某中学高一年级的所有学生中随机抽取200人进行调查，整理得到如下列联表：
选科类别
是否选择生物
合计
选择生物
不选择生物
物理类
100
60
160
历史类
15
25
40
合计
115
85
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为选科类别与选择生物有关联?

(2)、现从选物理类的样本中，按分层随机抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人中再随机抽取3人参加生物竞赛，求这3人中，选择生物的人数 $X$ 的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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6、已知抛物线 $C : y = \frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点为 $F$ ，准线与 $y$ 轴的交点为 $P$ ，点 $M$ 在 $C$ 上，且 $|M P| = \sqrt{2} |M F|$ ，则 $△ M F P$ 的面积为．

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7、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B D = \sqrt{2} C D = 2 \sqrt{2} A A_{1}$ ，则直线 $B C_{1}$ 与平面 $C C_{1} D_{1} D$ 所成角的正弦值为．

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8、数据： $35$ ， $54$ ， $80$ ， $86$ ， $72$ ， $85$ ， $58$ ， $53$ ， $46$ ， $66$ 的第 $25$ 百分位数为．

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9、函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，我们发现可以推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，下列说法正确的是（）

A、 $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ 的对称中心为 $(1, 1)$ B、 $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ 的对称中心为 $(1, - 1)$ C、类比上面推广结论：函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + 2)$ 为偶函数 D、类比上面推广结论：函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 2$ 成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + 2)$ 为偶函数

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10、设复数 $z_{1}$ 是虚数，复数 $z_{2} = \bar{z_{1}} + \frac{1}{\bar{z_{1}}}$ 是实数，则下列说法正确的是（）

A、 $|z_{1}|$ 的值为1 B、 $z_{1}$ 的实部的取值范围为 $(- 1, 1)$ C、 $\frac{1 - z_{1}}{1 + z_{1}}$ 为纯虚数 D、 $z_{2} - {(\frac{1 - z_{1}}{1 + z_{1}})}^{2}$ 的最小值为2

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11、已知命题p： $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 3 > 0$ ，命题q： $\exists x \in N$ ， $\ln (x - 4) < 0$ ，则（）

A、 $\neg p$ 和q都是真命题 B、p和q都是假命题 C、p和 $\neg q$ 都是假命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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12、一个盒子中装有4个黑球和6个白球，每个球编有不同的号码，现从中任取2个球，已知一个球是白球，则另一个球也是白球的概率为（）

A、 $\frac{5}{18}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{3}{5}$

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13、若平面内三点O，M，N满足 $|\vec{O M}| = 3$ ， $|\vec{M N}| = 5$ ， $|\vec{N O}| = 6$ ，则 $\vec{O M} \cdot \vec{M N}$ 的值为（）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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14、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上， $\frac{1}{2} |P F_{1}| = 5 - \frac{1}{2} |P F_{2}|$ ，且椭圆过点 $M (0, 4)$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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15、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的一个对称中心为（）

A、 $(\frac{π}{2}, 0)$ B、 $(\frac{π}{6}, 0)$ C、 $(- \frac{π}{2}, 0)$ D、 $(- \frac{π}{6}, 0)$

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16、已知等比数列 $\{b_{n}\}$ 的各项均为正数，若 $\log_{3} b_{1} + \log_{3} b_{2} + \cdot \cdot \cdot + \log_{3} b_{8} = 4$ ，则 $b_{4} b_{5}$ 等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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17、已知 $a = 3^{0.5}$ ， $b = 2^{0.5}$ ， $c = 2^{0.4}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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18、点 $P (1, - 2)$ 到直线l： $x - y - 2 = 0$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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19、已知向量 $\vec{a} = (5, 2)$ ， $\vec{b} = (10, t)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则t的值为（）

A、25 B、-25 C、-4 D、4

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20、某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图：

(1)、从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于 $[40, 60]$ 和 $[60, 80]$ 的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用 $X$ 表示这3人中属于 $[40, 60]$ 的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取 $n (n \geq 6$ 且 $n \in N^{*})$ 名学生，求证：当 $n = 7$ 时，“抽取的 $n$ 名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大.

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选科类别	是否选择生物		合计
选科类别	选择生物	不选择生物	合计
物理类	100	60	160
历史类	15	25	40
合计	115	85	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828