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相关试卷

1、如图，在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，E，F分别是棱 $B C$ ， $C D$ 上的动点.

(1)、设E，F分别为 $B C$ 、 $C D$ 的中点.证明： $E F //$ 平面 $A B^{'} D^{'}$ ；

(2)、设 $B E = C F$ .
（ⅰ）证明： $B^{'} F ⊥ D^{'} E$ ；
（ⅱ）当三棱锥 $A^{'} - C E F$ 的体积取得最大值时，求平面 $A^{'} E F$ 与平面 $C E F$ 夹角的余弦值.

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2、已知函数 $f (x) = (x + 2) e^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间及最值；

(2)、设 $g (x) = f (x) - k$ ，讨论 $g (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的零点个数.

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3、在一个数字转换程序中， $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别输入正整数m，n，经该转换程序处理后输出的数值为 $A (m, n)$ ，该程序运行满足以下3个条件：
① $A (1, 1) = 1$ ；② $A (m + 1, 1) = 4 A (m, 1) + 3$ ；③ $A (m, n + 1) = A (m, n) + 3$ .
若 $S_{2}$ 输入2025，且输出的数值为6103，则 $S_{1}$ 输入的正整数为.

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4、已知 $\forall x \in [1, 2]$ ， $x \ln x + a x + 2 \leq 0$ 恒成立，则a的取值范围是.

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5、 ${(2 x + \frac{1}{x})}^{5}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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6、已知棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，动点P满足 $P A = 2 P B$ ，下列结论正确的是（）

A、正方体棱上满足条件的P的个数为3 B、正方体棱上满足条件的P所在的平面去截正方体，截面面积为 $2 \sqrt{3}$ C、正方体棱上满足条件的P所在的平面去截正方体，被截去较小部分的体积为 $\frac{1}{2}$ D、点P到正方体各顶点距离的最大值为 $2 + \sqrt{34}$

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7、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 1$ ， $S_{4} = 8$ .则下列说法正确的是（）

A、 $a_{5} = - 3$ B、数列 $\{a_{2 n - 1}\}$ 的第10项为 $- 13$ C、数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前n项和 $\frac{n}{25 - 10 n}$ D、 $S_{n}$ 的最大值为8

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8、设某车床生产的零件长度为随机变量X， $X ~ N (5, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $E (X + 3) = 8$ B、 $D (3 X + 1) = 4$ C、 $P (2 \leq X \leq 8) = 1 - 2 P (X > 8)$ D、 $P (6 \leq X \leq 7) < P (4 \leq X \leq 5)$

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9、袋子A中有2张10元纸币和4张1元纸币，袋子B中有6张5元纸币.现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从两个袋子中各取出几张纸币，则从A中取出的纸币的面值之和大于从B中取出的纸币的面值之和的概率为（）

A、 $\frac{7}{30}$ B、 $\frac{23}{90}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{29}{90}$

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10、已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P B ⊥ C D$ ， $P B$ 与底面 $A B C D$ 所成角为 $60 °$ ， $P B = 2$ ，则 $C D$ 到平面 $P A B$ 的距离是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11、已知曲线 $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ 在点 $(1, 8)$ 处的切线与直线 $y = k x$ 平行，则 $k =$ （）

A、8 B、12 C、13 D、14

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12、已知圆锥的表面积为 $12 π$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $12 π$

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13、小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，则可以设置不同的密码的个数为（）

A、12 B、24 C、36 D、48

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14、在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，O为底面ABCD的中心，则直线 $A^{'} O$ 与 $B^{'} D^{'}$ 所成的角为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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15、已知x与y之间的一组数据：
x
1
2
3
4
y
5.5
4
3.5
3
若y与x满足回归方程 $y = \hat{b} x + 5$ ，则 $\hat{b} =$ （）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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16、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{2} a_{4} = 16$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、8

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D = C D = D P = 1$ ， $A B = B C = B P = \sqrt{3}$ ， $D P ⊥ A C$ ， $D P ⊥ P B$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、过直线 $C D$ 与线段 $P B$ 的中点E的平面 $α$ 与线段 $P A$ 交于点F.
（i）试确定F点位置；
（ii）若H点为线段 $E F$ 上一动点，求直线 $A H$ 与平面 $B C P$ 所成角正弦值的最小值.

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18、已知函数 $f (x) = x (1 + \ln x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的图像在点 $(1, 1)$ 处的切线方程；

(2)、若 $k \in Z$ ，且 $k (x - 1) < f (x)$ 对任意 $x > 1$ 恒成立，求 $k$ 的最大值.

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19、如图， $E A ⊥$ 平面ABCD， $E A ∥ F C$ ， $A C = E A = 2 F C = 2$ ，四边形ABCD为菱形.

(1)、证明： $F A ⊥$ 平面EBD；

(2)、若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ ，求三棱锥 $E - B D F$ 的体积.

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20、定义“规范01数列” $\{a_{n}\}$ 如下： $\{a_{n}\}$ 共有 $2 m$ 项，其中 $m$ 项为0， $m$ 项为1，且对任意 $k \leq 2 m$ ， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 中0的个数不少于1的个数.若 $m = 4$ ，则不同的“规范01数列”共有个．

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x	1	2	3	4
y	5.5	4	3.5	3