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相关试卷

1、2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中国广西大寨村和重庆荆竹村成功入选．辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客．小明准备利用假期从中选一个乡村游玩，记事件 $A$ ：小明选大寨村，事件 $B$ ：小明选荆竹村，事件 $C$ ：小明选绿江村．已知 $P (A) = 0.3$ ， $P (\bar{B}) = 0.6$ ，则 $P (A + B)$ ＝（）

A、0.12 B、0.18 C、0.7 D、0.9

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2、已知 $m$ ， $n$ 是两条不同直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同平面，下列命题中正确的为（）

A、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α$ ‖ $β$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m$ ‖ $n$ C、若 $m$ ‖ $α$ ， $n$ ‖ $α$ ，则 $m$ ‖ $n$ D、若 $m$ ‖ $α$ ， $m$ ‖ $β$ ，则 $α$ ‖ $β$

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3、有下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
其中正确的命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4、复数 $z = \frac{- i}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、2

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5、某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 $[1000, 1500)$ .

(1)、求居民月收入在 $[3000, 3500)$ 的频率；

(2)、根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

(3)、为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在 $[2500, 3000)$ 的这段应抽多少人？

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6、如图，在直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ， D为BC的中点．

(1)、证明： $A_{1} B //$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、若三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 的体积为 $4 \sqrt{3}$ ，且 $A B = B C$ ，求直线 $A C_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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7、已知 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量 $\vec{O P}$ ，有且只有一对实数x，y使 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，且当P，A，B共线时，有 $x + y = 1$ ．同样，在空间中若三个向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 不共面，那么对任意一个空间向量 $\vec{O P}$ ，存在唯一的一组实数组 $(x, y, z)$ ，使得 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，且当P，A，B，C共面时，有 $x + y + z = 1$ ．如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C // A D$ ， $A D = 2 B C$ ，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设 $\vec{P F} = x \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P E}$ ，则 $\frac{P F}{P C} =$ ； $y + z - 2 x =$ ．

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8、如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为 $2 cm$ ，高为 $5 cm$ ，一质点自 $A$ 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达 $A_{1}$ 点的最短路线的长为 $cm$ .

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9、在如图所示的圆锥中，AB为底面圆O的直径，C为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点， $A B = 2 O P = 4$ ，则异面直线AP与BC所成角的余弦值为．

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10、某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为.

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11、（多选）下列命题中，正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ B、在锐角 $△ A B C$ 中，不等式 $\sin A > \cos B$ 恒成立 C、在 $△ A B C$ 中，若acosA＝bcosB，则 $△ A B C$ 必是等腰直角三角形 D、在 $△ A B C$ 中，若 $B = 60 °$ ， $b^{2} = a c$ ，则 $△ A B C$ 必是等边三角形

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12、如图，半球内有一内接正四棱锥 $S - A B C D$ ，该四棱锥的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，则该半球的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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13、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 2 A C$ ，平面内一点O满足 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则向量 $\vec{O C}$ 在向量 $\vec{A B}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{A B}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{A B}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{A B}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{A B}$

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14、12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75（单位：m），则比赛成绩的75%分位数是（）

A、1.72 B、1.73 C、1.74 D、1.75

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15、已知 $△ A B C$ 的顶点坐标分别是 $A (- 2 \sqrt{2}, 0)$ ， $B (\sqrt{2}, 0)$ ， $C (0, 2 \sqrt{2})$ ，则 $\sin C =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2} \pm 2 \sqrt{5}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$

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16、已知函数 $f (x) = a (x + 1) ln x + x - 1 (a \in R)$ 存在两个不同的极值点.

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $f (x)$ 的极值点之和为 $m$ ，零点之和为 $n$ ，求证： $m + n > 5$ .

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17、一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球､3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出.

(1)、求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率；

(2)、记抽取3次取出白球的数量为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列；

(3)、记恰好在第 $n$ 次取出第二个白球的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ .

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = - 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} - b_{n - 1} = a_{n} (n \geq 2$ ， $n \in N^{*})$ ，且 $b_{1} = b_{3} = 1$ .

(1)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、将数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列 $\{c_{n}\}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设数列 $\{\frac{1}{c_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{5}{4}$ .

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19、已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x + 1) e^{x} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求过点 $(1, 0)$ 且与 $f (x)$ 图象相切的直线的方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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20、某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分，得分80及以上者获奖.为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下：
成绩
$[0, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
学生人数
6
10
24
7
3
选修读课程人数
0
3
9
4
4

(1)、根据以上统计数据完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，依据 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联；
获奖
没有获奖
合计
选修阅读课程
不选阅读课程
合计

(2)、在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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成绩	$[0, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
学生人数	6	10	24	7	3
选修读课程人数	0	3	9	4	4

	获奖	没有获奖	合计
选修阅读课程
不选阅读课程
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828