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相关试卷

1、某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元．

(1)、设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；

(2)、设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；

(3)、如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．

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2、某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
年份序号x
1
2
3
4
5
招生人数y/百人
7
12
13
19
24

(1)、求该学校招生人数 $y$ 与年份序号 $x$ 的相关系数（精确到 $0.01$ ），并判断它们是否具有较强线性相关程度（ $0.75 \leq |r| \leq 1$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关程度较强； $|r| < 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 的线性相关程度较弱）；

(2)、求y关于x的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - b \bar{x}$ ．
参考数据： $\sqrt{1740} \approx 41.7$ ．

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3、已知函数 $f (x) = x - \frac{2}{x} - 3 \ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x \in [1, 6]$ ， $f (x) \leq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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4、甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为 $X_{n}$ ， $Y_{n}$ ，则 $P (X_{1} \geq Y_{1}) =$ ，若第1轮甲得3分，则 $P (X_{4} > Y_{4}) =$ ．

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5、某班有50名学生，某次数学考试成绩 $X ～ N (100, σ^{2})$ ，若P（90≤X≤110）＝0.4，则估计该班学生数学成绩超过110分的人数为．

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6、已知函数 $f (x) = e^{x}$ 与函数 $g (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$ 的图象相交于 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 两点，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则（）

A、 $y_{1} y_{2} = 1$ B、 $y_{2}^{x_{1}} = e^{2}$ C、直线 $M N$ 的斜率 $k > 1$ D、 $x_{2} y_{2} > 2 e^{2}$

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7、关于二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式，下列说法错误的是（）

A、常数项为－60 B、有理项的项数为4 C、各项系数之和为64 D、二项式系数最大的项为第4项

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8、若点P是曲线 $y = 4 \ln x - x^{2}$ 上任意一点，则点P到直线 $l : 2 x + y - 5 \ln 2 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} \ln 2}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{4 \ln 2}{5}$

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9、函数 $f (x) = x^{3} + a x$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，则a＝（）

A、 $- 3$ B、3 C、1 D、 $- 1$

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10、如图，在 $Rt △ A O B$ 中， $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ， $A O = 4$ ， $B O = 2$ ， $Rt △ A O C$ 可以通过 $Rt △ A O B$ 以直线 $A O$ 为轴旋转得到，且二面角 $B - A O - C$ 是直二面角.动点 $D$ 在线段 $A B$ 上.

(1)、当 $D$ 为 $A B$ 的中点时，求异面直线 $A O$ 与 $C D$ 所成角的余弦值；

(2)、求 $C D$ 与平面 $A O B$ 所成角的正弦值的最大值.

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11、某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，调查得该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），为了研究计算的方便，记 $2011$ 年为 $x = 1$ ， $2012$ 年为 $x = 2$ 依次下去，得到下表：
$x$
1
2
3
4
5
储蓄存款 $y$ （千亿元）
5
6
7
8
10

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、用所求回归方程预测到 $2020$ 年年底，该地储蓄存款额可达多少?
附：对于线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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12、某商场为提高服务质量，随机调查了 $50$ 位男顾客和 $50$ 位女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到下面部分列联表：

满意
不满意
合计
男顾客

10

女顾客

15

合计

(1)、分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)、完成题目中的 $2 \times 2$ 列联表，并通过计算判断能否有 $95 %$ 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附：
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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13、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ $.$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 过点 $(2, - 6)$ 的切线方程.

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14、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 20$ ， $D (X) = 15$ ，则 $p =$ .

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15、已知直线 $l$ 的方向向量为 $\overset{⃑}{e} = (- 1, 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\overset{⃑}{n} = (\frac{1}{2}, 2 λ, - 1) (λ \in R)$ 若 $l ⊥ α$ ，则实数 $λ$ 的值为.

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16、马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 $n (n \in N^{*})$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $p_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $p_{1} = \frac{5}{9}$ B、 $P (X_{1} = 2) = \frac{1}{6}$ C、数列 $\{p_{n} - \frac{3}{5}\}$ 是等比数列 D、 $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n}) = 1$

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17、设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足 $Y = 2 X - 1$ ，则下列结果正确的是（）
X
0
1
2
3
4
P
$q$
0.4
0.1
0.2
0.2

A、 $q = 0.2$ B、 $E (X) = 2$ ， $D (X) = 1.8$ C、 $E (X) = 2$ ， $D (X) = 1.4$ D、 $E (Y) = 3$ ， $D (Y) = 7.2$

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18、已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布 $N (70, 16)$ ，其中60分为及格线，则下列结论中正确的有（）（附：随机变量 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9545$

A、该校学生成绩的均值为70 B、该校学生成绩的标准差为4 C、该校学生成绩的标准差为16 D、该校学生成绩及格率超过95%

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19、甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为 $\frac{1}{2}$ ，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{1}{4}$

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20、已知二面角 $α - l - β$ ，其中平面 $α$ 的一个法向量 $\overset{⇀}{m} = (1, 0, - 1)$ ，平面 $β$ 的一个法向量 $\overset{⇀}{n} = (0, - 1, 1)$ ，则二面角 $α - l - β$ 的大小可能为(　　 )

A、 $60^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$ D、 $135^{\circ}$

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年份序号x	1	2	3	4	5
招生人数y/百人	7	12	13	19	24

$x$	1	2	3	4	5
储蓄存款 $y$ （千亿元）	5	6	7	8	10

	满意	不满意	合计
男顾客		10
女顾客		15
合计

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828