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相关试卷

1、如图，“水滴”是由线段 $A B, A C$ 和圆的优弧 $B C$ 所围成的封闭图形，其中 $A B, A C$ 恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点 $A$ 到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为.

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2、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3$ ．

(1)、若不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $\{x| - 1 < x < 1\}$ ，求 $a, b$ 的值；

(2)、若 $f (2) = 1$ ，且 $a > 0, b > 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值．

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3、若存在实数 $x$ 使得 $k x^{2} - 2 x + 1 < 0$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(0, 1)$ D、 $[0, 1)$

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4、已知P是 $△ A B C$ 所在平面内一点，满足 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，若 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 6$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C P} =$ （）

A、 $- 12$ B、12 C、 $- 18$ D、18

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5、已知直线 $l_{1}$ ： $a x + 2 y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(3 - a) x - y + a = 0$ ，则条件“ $a = 1$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不必要也不充分条件

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6、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $\frac{π}{3}$ 的单位向量，则 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是平行四边形，且 $△ A B D$ 是等边三角形， $A B = 2$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $△ P A B$ 是等腰三角形，求异面直线 $P B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值.

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8、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、已知点 $A (0, - 2)$ ，过点 $P (0, - 3)$ 且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线 $y = - 3$ 交于点M、N，当 $∣ P M ∣ + ∣ P N ∣ \leq 15$ 时，求斜率k的取值范围．

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9、如图，由9个单位小方格组成的 $3 \times 3$ 方格表中共有16个格点，将每个格点染成灰色或黑色，满足：若任意4个格点构成矩形的4个顶点，则这4点中至多有2点被染成灰色.则被染为灰色的格点数目最多为.

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10、若圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y - m)}^{2} = 25$ 被直线 $3 x - 4 y - 7 = 0$ 所截得的弦长为10，过点 $P (- 7, 5)$ 作圆 $M$ 的切线，其中一个切点为 $A$ ，则 $| P A |$ 的值为.

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11、已知函数 $f (x) = |x - a| + |x - a^{2}|$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $f (0) = 2$ ，则 $a = \pm 1$ B、若 $f (x)$ 为偶函数，则 $f (x) \geq 2$ C、有且仅有 $2$ 个 $a$ 使得 $f (x)$ 的最小值为 $0$ D、若函数 $f (x)$ 的图象与 $y = \sqrt{x}$ 的图象有且仅有两个交点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{\sqrt{2} - 2}{4}, 2)$

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12、定义在 $[0, 1]$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 0, f (x) + f (1 - x) = 1, f (\frac{x}{5}) = \frac{1}{2} f (x)$ ，且当 $0 \leq x_{1} < x_{2} \leq 1$ 时， $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则 $f (\frac{1}{2023}) =$ （）

A、 $\frac{1}{256}$ B、 $\frac{1}{128}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{32}$

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13、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - |x + 3 a - 6|, x ⩽ 0 \\ a^{x}, x > 0 \end{array}$ ，满足对任意实数 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(2$ ， $3]$ C、 $(2, \frac{7}{3})$ D、 $(1$ ， $2]$

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14、已知集合 $A = {x ∣ x > 1}, B = \{x |\frac{x}{2 - x} \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 2)$ B、 $(1, 2]$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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15、双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \sqrt{5} x$ C、 $x = \pm 2 y$ D、 $y = \pm 4 x$

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16、函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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17、已知复数 $\frac{z}{i^{3}} = - 3 - 4 i$ ，则|z|＝（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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18、已知 $z = - 1 + i$ ，则 $\frac{1}{z + 1} =$ （）

A、 $- i$ B、i C、-1 D、1

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, {sin}^{2} B + {sin}^{2} C - {sin}^{2} A = sin B sin C$ .

(1)、若 $b = 1, c = 2, D$ 为线段 $B C$ 中点，求线段 $A D$ 的长；

(2)、奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年～1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式： ${(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})$ ；②已知三维分式型柯西不等式： $y_{1}, y_{2}, y_{3} \in R^{+}, \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} \geq \frac{{(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2}}{y_{1} + y_{2} + y_{3}}$ ，当且仅当 $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}} = \frac{x_{3}}{y_{3}}$ 时等号成立.若 $a = 3, P$ 是 $△ A B C$ 内一点，过 $P$ 作 $A B, B C, A C$ 垂线，垂足分别为 $D, E, F$ ，求 $T = \frac{c}{|P D|} + \frac{9 a}{|P E|} + \frac{b}{|P F|}$ 的最小值.

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20、如图（1），正方形 $A B C D$ 的边长为 $2, E, F$ 分别为 $B C, C D$ 的中点， $A E, A F$ 与对角线 $B D$ 的交点分别为 $M, N$ ，对角线 $A C$ 交 $E F$ 于 $G$ ，沿图中虚线折起，使 $B, C, D$ 三点重合于点 $P$ ，得到图（2）所示的多面体.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P M N$ ；

(2)、求证：平面 $A P G ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(3)、求四棱锥 $P - E F N M$ 的体积.

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