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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = {sin}^{4} x - {cos}^{2} x$ ，则下列正确的是（）

A、 $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减

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2、下列结论正确的是（）

A、若随机变量 $X \sim N (2, 1)$ ，则 $P (x \geq 3) > 0.5$ B、若随机变量 $X \sim N (2, 1)$ ，则 $P (3 < x < 4) < P (1 < x < 2)$ C、若随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，且 $E (X) = 2$ ，则 $D (X) = 1$ D、若随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，且 $D (X) = 1$ ，则 $D (2 X - 1) = 4$

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3、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{x}) = - f (x), f (\frac{2}{x}) = - f (2 x)$ ，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ ，则函数 $y = f (x) + \frac{1}{4}$ 在区间 $[1, 100]$ 内的零点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点， $A$ 为左顶点， $B$ 是双曲线在第四象限上一点， $B F_{2}$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ ，且 $A B ⊥ B F_{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $S_{n} > 0$ ，则 $a_{n} > 0$ B、若 $S_{n} > 0$ ，则 $a_{n} + S_{n} > 0$ C、若 $S_{n} \geq a_{n}$ ，则 $a_{n} > 0$ D、若 $a_{n} + S_{n} \geq 0$ ，则 $S_{3} \geq a_{3}$

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6、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{3}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{b}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{b}$

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7、尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 $E$ （单位：焦耳）与地震里氏震级 $M$ 之间的关系为： $lg E = 4.8 + 1.5 M$ .若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为 $E_{1}$ ， 2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为 $E_{2}$ ，则 $\frac{E_{1}}{E_{2}} =$ （）

A、 $100$ B、 $200$ C、 $1000$ D、 $2000$

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8、“ $k = 0$ ”是“直线 $y = k x + 2$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 相切”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知复数 $z$ 满足 $i z = 1 + i (i$ 为虚数单位 $)$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $2 \sqrt{2}$

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10、已知集合 $M = \{x \in Z ∣ 2^{x} < 8\}, N = {x ∣ |x - 2| < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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11、将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1行   1   2   3   ……   7   8   9
第2行   10   11   12   ……   97   98   99
第3行   100   101   102   ……   997   998   999
第4行   1000   1001   1002   ……   9997   9998   9999
…………

(1)、将数列 $\{3 n + 1\}$ 与数列 $\{2^{n}\}$ 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列 $\{a_{n}\}$ ，试确定 $a_{6}$ 在该数阵中的位置；

(2)、将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第 $n$ 行中正整数的个数为 $b_{n}$ .
（i）求 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ；
（ii）求 $b_{n}$ .

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12、已知函数 $f (x) = x e^{x} - a$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、若 $|f (x)| > a x (ln x + 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $E$ 为 $P C$ 的中点， $P A = A D$ ， $P D ⊥ B E$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P D = A D$ ，直线 $P B$ 与平面 $P D A$ 所成角的正切值等于2，求平面 $A B E$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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14、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $H (3, y)$ 到其焦点 $F$ 的距离为4．

(1)、求拋物线 $E$ 的方程；

(2)、已知抛物线 $E$ 的准线为 $l, O$ 为坐标原点，若过焦点 $F$ 的动直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，直线AO与 $l$ 交于点 $C$ ，
（i）证明：直线 $B C / / x$ 轴；
（ii）过 $A, B$ 两点分别作抛物线的切线 $l_{1}, l_{2}, l_{1}, l_{2}$ 相交于点 $Q$ 且分别与直线 $x = 2$ 相交于点 $M, N$ ，求 $△ Q M N$ 面积的取值范围．

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15、如图，矩形ABCD中， $A B = 1, A D = 3, \vec{A D} = 3 \vec{A E}, \vec{B C} = 3 \vec{F C}$ ．现以EF为折痕把四边形ABFE折起得到平面 $A^{'} B^{'} F E$ ，并连接 $B^{'} D, B B^{'}$ ．

(1)、若 $B^{'} E ⊥ B E$ ，证明： $B^{'} E ⊥$ 平面BEF；

(2)、若 $M$ 为 $B^{'} D$ 的中点， $G \in B F$ ，直线GE与平面 $B^{'} B E$ 所成角正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（i）试讨论在线段AD上是否存在点 $N$ ，使得 $B B^{'} / /$ 平面GMN．若存在，请求出DN的长度；若不存在，请说明理由；
（ii）求平面 $B B^{'} E$ 与平面 $B^{'} D F$ 所成锐二面角的取值范围．

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16、已知函数 $f (x) = \ln x - x$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (2 a + 3) x - 1$ $(a \in R)$ 只有一个公共点．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求证： $f (x) \leq \frac{e^{x - 1}}{x} - 2$ ．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2^{n}$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 2^{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} \geq λ (a_{n} + 2^{n}) + 1$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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18、为了更好地了解中学生的体育锻炼时间，某校展开了一次调查，从全校学生中随机选取 $100$ 人，统计了他们一周参加体育锻炼时间（单位：小时），分别位于区间 $[7, 9), [9, 11), [11, 13), [13, 15)$ ， $[15, 17), [17, 19]$ ，用频率分布直方图表示如下图．假设用频率估计概率，且每个学生参加体育锻炼时间相互独立．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、估计全校学生一周参加体育锻炼时间的第 $80$ 百分位数；

(3)、从全校学生中随机选取 $3$ 人，记 $X$ 表示这 $3$ 人一周参加体育锻炼时间在区间 $[13, 15)$ 内的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ．

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19、已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率 $e = 2$ ，抛物线 $C_{2} : y^{2} = - 4 m x (m > 0)$ 的准线经过双曲线 $C_{1}$ 的右焦点，点 $P$ 为双曲线 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 位于 $x$ 轴上方的交点，若 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 12$ ，则 $m$ 的值为．

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20、 $(x + 2 y) {(2 x + y)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 项的系数为．

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