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1、下列运算正确的个数是（）
① $(- 3) \cdot 2 \vec{a} = - 6 \vec{a}$ ；
② $2 (\vec{a} + \vec{b}) - (2 \vec{b} - \vec{a}) = 3 \vec{a}$ ；
③ $(\vec{a} + 2 \vec{b}) - (2 \vec{b} + \vec{a}) = 0$ .

A、0 B、1 C、2 D、3

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2、如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（）

A、 $\vec{O A}, \vec{B C}$ B、 $\vec{O A}, \vec{C D}$ C、 $\vec{A B}, \vec{C F}$ D、 $\vec{A B}, \vec{D E}$

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3、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 0$ ，且 $\forall x_{1}, x_{2} \in R (x_{1} < x_{2})$ ，有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ．若存在 $T > 0$ ，使得函数 $g (x) = f (x + T) - f (x)$ 是常函数，则称 $f (x)$ 是“ $T -$ 阶梯函数”．

(1)、若 $f (x)$ 是“ $1 -$ 阶梯函数”，且当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = k (x - 1) + 2$ ，写出 $k, f (\frac{3}{2})$ 的取值范围；

(2)、已知 $f (x)$ 满足：① $f (5) = a (a \in R)$ ；② $\forall x \in R$ ，有 $[f (x + 2) - f (x)] \in \{1, 3\}$ ．
（i）证明： $f (x)$ 是“ $2 -$ 阶梯函数”的必要条件是“ $a \in [2, 3] \cup [6, 9]$ ”；
（ii）若所有满足条件①②的函数 $f (x)$ 均为“ $2 -$ 阶梯函数”，猜想 $a$ 的取值范围并证明．

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，焦距为2，左顶点为 $A$ ，点 $D (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是椭圆 $C$ 上一点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过椭圆 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ 且与椭圆交于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与直线 $x = 4$ 分别交于点 $M, N$ ．
①求证： $M, N$ 两点的纵坐标之积为定值；
②求 $△ A M N$ 面积的最小值．

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5、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A C = B C = 2 B_{1} C_{1}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别为 $B C$ ， $A B$ 的中点， $C_{1} D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D = C_{1} D$ ．

(1)、若平面 $D E B_{1} \cap$ 平面 $A_{1} C_{1} B = l$ ，求证： $D E ∥ l$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $A_{1} C_{1} B$ 所成角的正弦值．

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6、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $a sin B = b cos (A + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3} c$ ，且 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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7、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，侧棱 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P B C$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为．

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8、现从5名男生、4名女生中分别选3名男生和2名女生参加社区服务，若其中男生甲和女生乙至少有一人被选派的情况下，这两人均被选派的概率为．

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (4 x + 1)$ 为偶函数， $f (x + 2) - 2$ 为奇函数，且 $f (1) = 0$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) =$ （）

A、4040 B、4044 C、4046 D、4048

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，抛物线 $y^{2} = 3 x$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于点 $A$ ． $O$ 为坐标原点，若 $△ A O F$ 为正三角形，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

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11、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 、 $N$ 分别棱 $B B_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，则下列选项正确的是（）

A、 $A_{1} M ∥ C N$ B、 $A_{1} B_{1} ⊥ M C$ C、 $M N ⊥$ 面 $A A_{1} C_{1} C$ D、 $M N / /$ 面 $A_{1} B D$

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12、函数 $f (x) = \sin (x - \frac{π}{6}) - \cos x$ 的最小值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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13、遵义羊肉粉是黔北民众最喜爱的小吃之一.2024年12月16日，遵义市第七届羊肉粉节在凤凰山文化广场盛大开幕，某商家为了调研顾客对本店就餐的满意度，从用过餐的顾客中随机抽取100名进行评分．整理评分数据，将收集到的顾客满意度分值数据（满分100分）分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（）

A、这100名顾客评分的极差介于40分至50分之间 B、这100名顾客评分的中位数小于80分 C、 $a = 0.030$ D、这100名顾客评分的平均值介于60分到70分之间

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14、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的交点都在圆C上，则圆C与x轴正半轴的交点坐标为（）

A、 $(3, 0)$ B、 $(4, 0)$ C、 $(\frac{9}{2}, 0)$ D、 $(5, 0)$

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15、已知集合 $A = {x | \frac{1}{x} < 1}$ ， $B = {x | - 2 < x < 1}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- 2, 0]$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $[0, 1)$

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - 2^{- x} + a, x < 0 \\ 2^{x} - a, x > 0 \end{array} (a \in R)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、若 $f (x)$ 在定义域上是增函数，则 $a \leq 1$ C、若 $f (x)$ 的值域为 $R$ .则 $a \geq 1$ D、当 $a \leq 1$ 时，若 $f (x) + f (3 x + 4) > 0$ ，则 $x \in (- 1, + \infty)$

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17、已知 $f (x) = |\ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)|$ ，若 $a = f (\ln \frac{2}{3})$ ， $b = f (\frac{1}{3})$ ， $c = f (\tan \frac{1}{2})$ 则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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18、已知函数 $f (x) = \sin ω x - \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、点 $(- \frac{5 π}{6}, 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{11 π}{12})$ 上单调递减 D、将 $f (x)$ 的图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到 $y = 2 \cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象

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19、已知边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 120 °$ ， P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且 $P Q ⊥ B D$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C Q}$ 的最大值是．

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20、已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线5x+12y+21=0相切，与y轴交于M，N两点，且∠MCN=120°．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若 $| D E | = 2 \sqrt{3}$ 时，求直线l的方程；
（3）已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得 $\frac{| Q A |}{| Q B |} = \frac{1}{2}$ ？若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由．

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