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相关试卷

1、已知直线 $l : y = 2 x - 1$ ，则下列说法错误的是（）

A、直线l的纵截距是1 B、点 $P (5, m)$ 在直线l上，则 $m = 9$ C、直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切 D、直线l与直线 $y = 2 x + 4$ 间的距离为 $\sqrt{5}$

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2、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，得到的图象关于原点对称 D、 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P是椭圆C上的动点， $m = |P F_{1}|$ ， $n = |P F_{2}|$ ，则 $\frac{4 m + n}{m n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{8}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{20 - 3 \sqrt{7}}{9}$ D、 $\frac{20 + 3 \sqrt{7}}{9}$

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4、某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布 $N (75, σ^{2})$ .若 $P (60 \leq X \leq 90) = \frac{3}{5}$ ，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $b = 2 a \cos C$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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6、光正实验学校高二年级拟举行“诗词”、“历史”、“地理”三场不同主题的知识竞答活动，要求各班各派3名学生分别参加这三个主题的竞答.某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中选派3位，已知甲不参加“诗词”主题的竞答活动，则该班不同的选派方法有（）

A、9种 B、12种 C、15种 D、18种

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7、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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8、已知集合 $M = \{x |x^{2} + 2 x - 3 < 0\}$ ， $N = \{x |- 1 \leq x < 4\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- 3, 4)$ B、 $[- 1, 1)$ C、 $(- 3, - 1] \cup (1, 4)$ D、 $(- 3, 1) \cup (1, 4)$

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9、已知复数 $z_{1} ， z_{2}$ 满足 $|z_{1}| = 1 ， |z_{2}| = 2 ， |z_{1} - z_{2}| = \sqrt{7}$ ，则 $|z_{1} + z_{2}|$ 的值为．

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10、已知函数 $f (x) = x ln x - \frac{1}{2} a x^{2}$ ，

(1)、若 $y = x$ 与 $f (x)$ 的图象恰好相切，求实数 $a$ 的值；

(2)、 $a = 0$ 时，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > \frac{x}{e^{x}} - \frac{2}{e}$

(3)、若 $h (x) = a f (x) + a ln x + \frac{1}{2} a^{2} x^{2} - x + 1$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ．
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）求证： $(3 a - 1) (x_{1} + x_{3} + 2) < 2$ ．

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} = 6 a_{n + 1} - 9 a_{n} (n \in N_{*})$ ，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{2} = 18$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n + 1} - 3 a_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若数列 $\{\frac{2 a_{n} + 3^{n + 1}}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $c_{n} = (n + 1) (\frac{1}{3} - S_{n}) (n \in N_{*})$ 证明：数列 $\{c_{n}\}$ 中任意不同的三项都不能构成等差数列．

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12、25人排成 $5 \times 5$ 方队，现从中选3人，要求3人既不在同一行也不在同一列，则不同的选法有种．

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13、若 $1 + \sqrt{2} i$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的一个复数根，则 $b =$ .

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14、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F，G分别是棱 $A D, D D_{1}, C D$ 的中点，则下列说法正确的有（）

A、直线 $A_{1} G$ 与直线 $C_{1} E$ 共面 B、 $V_{D_{1} - B E F} = \frac{2}{3}$ C、过点B，E，F的平面，截正方体的截面面积为9 D、二面角 $D_{1} - A C - B_{1}$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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15、设 $a$ 、 $b \in R$ ， $a b \neq 0$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $3^{a} > 2^{b}$ C、 $sin (a - b) < a - b$ D、 $|\frac{b}{a} + \frac{a}{b}| > 2$

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16、已知 $P, Q$ 为 $R$ 的两个非空真子集，若 $∁_{R} Q$ $⫋ ∁_{R} P$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\forall x \in Q, x \in P$ B、 $\exists x \in ∁_{R} P, x \in ∁_{R} Q$ C、 $\exists x \notin Q, x \in P$ D、 $\forall x \in ∁_{R} P, x \in ∁_{R} Q$

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17、已知四面体 $A B C D$ .

(1)、若该四面体为正四面体，球 $O$ 与其四个面都相切，证明：该四面体与球 $O$ 的体积之比等于它们的表面积之比；

(2)、设点 $G$ 是满足 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ ，过点 $G$ 的平面 $Ω$ 分别与直线 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 交于点 $P$ ， $Q$ ， $R$ ，且 $\vec{A P} = λ_{1} \vec{A B}$ ， $\vec{A Q} = λ_{2} \vec{A C}$ ， $\vec{A R} = λ_{3} \vec{A D}$ ，证明： $\frac{1}{λ_{1}} + \frac{1}{λ_{2}} + \frac{1}{λ_{3}} = 4$ ；

(3)、若空间内一点 $H$ 满足 $a \vec{H A} + b \vec{H B} + c \vec{H C} + d \vec{H D} = \vec{0}$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 均为实数，且全不为0），证明： $V_{H - B C D} : V_{H - A C D} : V_{H - A B D} : V_{H - A B C} = |a| : |b| : |c| : |d|$ .

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18、一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为 $1, 2, 3$ ，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为 $i$ ，第二次摸到的小球号码为 $j$ .

(1)、记“ $i + j > i \cdot j$ ”为事件 $A$ ，求 $P (A)$ ；

(2)、完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为 $k$ ，号码 $i, j, k$ 中出现偶数的个数记为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ .的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 2} + a_{n} - 2 a_{n + 1} = 0 (n \in N^{*})$ .若 $a_{11} + a_{15} + a_{19} = 12$ ，则 $S_{29} =$ .

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20、已知A，B，C是抛物线 $W : y^{2} = 28 x$ 上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为 $P (m, n)$ ，则（）

A、当 $m = 9$ 时， $|A B|$ 的最大值为32 B、当 $m = 8$ 时， $|C P| + |C F|$ 的最小值为22 C、当 $n = 5$ 时，直线AB的斜率为 $\frac{14}{5}$ D、当 $\vec{A F} // \vec{A B}$ 时，点P到直线l的距离的最小值为14

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