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相关试卷

1、已知离散型随机变量X的分布列为 $P (X = i) = a i^{2} (i = 1, 2, 3)$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{13}$ C、 $\frac{1}{14}$ D、 $\frac{1}{15}$

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2、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b \sin B - c \sin C + (c - a) \sin A = 0$ ．

(1)、求角B；

(2)、如图， $∠ A B C$ 的角平分线交 $A C$ 于点D，且 $a = 3$ ， $c = 4$ ，
（i）求 $B D$ 的长度；
（ii）若 $A B$ 边上的中线 $C E$ 与 $B D$ 相交于点F，求 $∠ D F E$ 的余弦值．

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3、某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的.

(1)、求甲第二次答题通过初赛的概率；

(2)、求乙通过初赛的概率；

(3)、求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.

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4、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $A B = 2$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ∥$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、若三棱锥 $B_{1} - A D C_{1}$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $A A_{1}$ ．

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5、在对某中学高一年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高一年级学生体重的方差为．
（参考公式：已知总体分为两层，各层的样本量，平均数，方差分别为m， $\bar{x}$ ， $s_{1}^{2}$ ；n， $\bar{y}$ ， $s_{2}^{2}$ ，记总的样本平均数和样本方差为 $\bar{ω}$ ， $s^{2}$ ，其中 $s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{ω})}^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{ω})}^{2}])$ ．

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6、某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100）．现随机抽取了其中10个数据依次为80，85，86，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的第25百分位数为．

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7、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P为 $B C$ 的中点，Q为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（）

A、直线 $A P$ 与直线 $C_{1} D_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ B、当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时，截面S的形状为等腰梯形 C、当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时，S与 $C_{1} D_{1}$ 交于点R，则 $C_{1} R = \frac{1}{4}$ D、当 $\frac{1}{2} < C Q < 1$ 时，直线 $P Q$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的夹角正弦值的取值范围是 $(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{1}{2})$

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8、已知 $i$ 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）

A、 $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = 0$ B、若 $z = {(1 + 2 i)}^{2}$ ，则复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于第二象限 C、复数 $z = \frac{3 - 5 i}{1 - i}$ ， $|z| = \sqrt{2}$ D、若复数 $z$ 满足 $|z| = 1$ ，则 $|z - 3 + 4 i|$ 的最大值为6

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9、抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件 $N$ 表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件 $N$ 相互独立的是（）

A、第二次朝上的数字是奇数 B、第二次朝上的数字为2 C、两次朝上的数字之和为9 D、两次朝上的数字之和为10

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10、已知两个单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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11、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在线段 $A O$ 上，且 $|M A| = 2 |M O|$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{5}{3} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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12、若复数 $z = (m + 1) + (2 - m) i (m \in R)$ 是纯虚数，则 $|\frac{6 + 3 i}{z}| =$

A、3 B、5 C、 $\sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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13、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x - 1}{x} - a x (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的极值；

(3)、若 $a < - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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14、某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入 $3$ 个红球和 $3$ 个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出 $3$ 个球，把白球换成红球再全部放回箱中，设此时箱中红球个数为 $X$ ，则每位员工颁发奖金 $X$ 万元.

(1)、求 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)、若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ， $μ$ 为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为 $100$ 万元， $σ^{2}$ 为数据的方差，计算结果为 $225$ 万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于 $115$ 万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.
参考数据：若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ .

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15、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是直角梯形， $A B / / D C$ ， $∠ A B C = 45^{\circ}$ ， $D C = 1$ ， $A B = 2$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A = 1$ .

(1)、求证： $A B / /$ 平面PCD；

(2)、若M是PC的中点，求PC与平面ADM所成角的正弦值.

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 16$ ， $S_{6} = 51$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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17、甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{1} =$ ； $p_{n} =$ .

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18、若 $C_{20}^{2 n + 6} = C_{20}^{n + 2} (n \in N)$ ，记 ${(2 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots a_{n} x^{n}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - \dots + {(- 1)}^{n} a_{n} =$ .

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19、离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，一个焦点坐标为 $(2, 0)$ 的双曲线的标准方程为.

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20、假设某市场供应的N95口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
$50 %$
$30 %$
$20 %$
优质率
$80 %$
$90 %$
$70 %$
在该市场中任意买一 $N 95$ 口罩，用 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 分别表示买到的口罩为甲品牌､乙品牌､其他品牌， $B$ 表示买到的是优质品，用 $P (A)$ 表示事件 $A$ 发生的概率，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A_{1}) = 40 %$ B、 $P (B A_{2}) = 27 %$ C、 $P (B) = 81 %$ D、 $P (A_{2} ∣ B) = \frac{1}{3}$

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品牌	甲	乙	其他
市场占有率	$50 %$	$30 %$	$20 %$
优质率	$80 %$	$90 %$	$70 %$