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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $∠ B A C$ 为锐角，动点D在 $△ A B C$ 的边AC上， $P A = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 3 \sqrt{3}$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\sqrt{2}$ .

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面PAB.

(2)、当点P到直线BD的距离为 $\sqrt{3}$ 时，求PD与平面ABC所成的角.

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(\sin A + \sin B) (b - a) = c (\sin B - \sin C)$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若BC边上的高为3，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} + 3 x - 4$ ，设曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a_{n}, f (a_{n}))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $(a_{n + 1}, 0)$ $(n \in N^{*})$ ， $a_{1} > 1$ ， $a_{2} = \frac{8}{7}$ ，则 $a_{1} =$ ；设 $x_{1}, x_{2} (x_{1} > x_{2})$ 是函数 $f (x)$ 的零点， $b_{n} = \log_{6}$ $\frac{a_{n} - x_{2}}{a_{n} - x_{1}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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4、已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半，侧棱长为2，过侧棱中点且平行于底面的截面的边长为3，则正三棱台的体积为.

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5、在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为.（用数字作答）

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6、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，那么（）

A、 $∠ A O B > \frac{π}{2}$ B、 $∠ A P B \leq \frac{π}{2}$ C、 $|A F| + 4 |B F|$ 的最小值为10 D、若PA与C相切，则PB也与C相切

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7、若方程 $\frac{x^{2}}{3 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 所表示的曲线为C，则下列说法正确的是（）

A、若 $t = 2$ ，则曲线C的长度为 $2 π$ B、若C为双曲线，则 $t < 1$ 或 $t > 3$ C、若C为椭圆，且焦点在 $x$ 轴上，则 $2 < t < 3$ D、若C为椭圆，则焦距为4

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8、下列说法正确的是（）

A、若A，B是两个随机事件，则 $P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)$ B、若随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ，则 $P (X < 0) = P (X > 2)$ C、相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度越强 D、数据1，2，5，7，9，11的上四分位数是9

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9、若函数 $f (x)$ 满足对任意 $n \in N^{*}$ ，恒有 $f (n) \geq 2 n$ ，且 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 4 x y$ ，则 $\sum_{i = 1}^{8} f (i)$ 的最小值是（）

A、 $408$ B、 $400$ C、 $204$ D、 $200$

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10、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为q，且 $a_{1} > 0$ ，则 $a_{n + 2} > a_{n}$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $a_{2} > a_{1}$ B、 $a_{4} > a_{2}$ C、 $a_{2} > 0$ D、 $a_{2} > 2 a_{1}$

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11、若函数 $f (x) = 2 \cos (2 ω x + \frac{π}{12}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上有且仅有两个极值点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{23}{12} < ω \leq \frac{47}{12}$ B、 $\frac{23}{12} < ω < \frac{47}{12}$ C、 $\frac{23}{12} < ω \leq \frac{35}{12}$ D、 $\frac{23}{12} < ω < \frac{35}{12}$

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12、将3个1和2个0随机排成一个五位数，则2个0不相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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13、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足 $4 c^{2} + a^{2} = b^{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、等腰三角形

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14、已知向量 $\vec{a} = (0, - 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若 $(\vec{a} - λ \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{3}$

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15、已知 $\frac{z}{1 + i} = - 2 - i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、10 B、 $\sqrt{10}$ C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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16、若集合 $A = \{x |0 \leq x \leq 4\}$ ， $B = \{x |x \geq 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x | 2 \leq x \leq 4\}$ B、 $\{x |x \geq 2\}$ C、 $\{x |x \geq 0\}$ D、 $\{x |x \leq 4\}$

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17、某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动.本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答4道题目，任何1道题答对就算通过本轮挑战赛.若参赛选手前2道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰.甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙答对每道趣味智力题的概率均为 $\frac{3}{4}$ .甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动.乙不热爱公益活动，若前2道题都没有答对，则停止答题，被淘汰.甲、乙每道题是否答对相互独立.

(1)、求甲通过第一轮挑战赛的概率；

(2)、求乙通过第一轮挑战赛的概率；

(3)、求甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率.

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18、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $α$ ， $β$ 为锐角， $\sin α = \frac{4}{5}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{9 \sqrt{10}}{50}$ ，求 $f (β)$ 的值.

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19、如图，在四棱锥 $D - A B C E$ 中，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ， $A B / / C E$ ， $A B = 2 C E$ ， $D A = D E$ ， $G$ 为 $A E$ 的中点，点 $P$ 在线段 $B D$ 上， $C P / /$ 平面 $A D E$ .

(1)、证明： $D G ⊥ A B$ ；

(2)、求 $\frac{B P}{D P}$ 的值.

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20、已知四边形 $A B C D$ 的顶点都在半径为2的圆 $O$ 上，且 $A D$ 经过圆 $O$ 的圆心， $B C = 2$ ， $C D < A B$ ，四边形 $A B C D$ 的面积为 $3 + \sqrt{3}$ ，则 $A B =$ .

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