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相关试卷

1、设函数 $f (x) = (e^{x + t} - λ x) (ln x - 2 λ x)$ ，若存在实数 $λ$ 使得 $f (x) < 0$ 恒成立，则 $t$ 的取值范围是．

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2、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，点 $A (7, 6)$ ， $B$ 为圆 $C$ 上的动点， $Q$ 为 $x$ 轴上的动点，则 $|Q A| + |Q B|$ 的最小值为．

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3、已知 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (k, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $k =$ ．

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4、如图，数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，爱心曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 1 + |x| y$ 就是其中之一，下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 上的点的横坐标取值范围是 $[- \frac{4}{3}, \frac{4}{3}]$ B、曲线 $C$ 上的点到原点的距离最大值为 $\sqrt{2}$ C、曲线 $C$ 恰好经过6个整数点（即横坐标、纵坐标均为整数） D、曲线 $C$ 所围成的“心形”区域面积大于3

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5、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} - ln a_{n}$ ， $0 < a_{1} < 1$ ，设 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ ， $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \dots \cdot a_{n}$ ，则下列说法中一定正确的是（）

A、对任意的正整数 $n$ ，恒有 $a_{n + 1} > 1$ B、对任意的正整数 $n$ ，恒有 $a_{n + 1} > a_{n}$ C、对任意的正整数 $n$ ，恒有 $S_{n} > n$ D、对任意的正整数 $n$ ，恒有 $0 < T_{n} < 1$

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6、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$ ， $x \in [0, 3]$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $[2, 3]$ 上为增函数； B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[1, 4]$ ； C、函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $3 x + y - \frac{10}{3} = 0$ D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有2个不同的根当且仅当 $a \in (- \frac{4}{3}, 1]$

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7、已知 $\{a_{n}\}$ 是递增的等比数列．若 $a_{3} - 2 a_{2} + a_{1} = 2$ ，当 $a_{9}$ 取得最小值时，则 $a_{1} =$ （）

A、 $9$ B、 $16$ C、 $18$ D、 $24$

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8、动直线 $l$ 分别交直线 $y = x - 2$ 和曲线 $y = \frac{3}{2} x^{2} - 2 ln x$ 于 $M$ ， $N$ 两点，则 $|M N|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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9、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且函数 $f (x) = 2 x^{3} - \frac{a}{2} x^{2} - b x + 3$ 在 $x = 1$ 处有极值，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $8$ D、 $9$

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 3$ ， $S_{5} - S_{3} = 16$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、 $36$ B、 $49$ C、 $58$ D、 $64$

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11、角 $θ$ 终边上一点的坐标为 $(- 3, 4)$ ，则 $sin (θ - \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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12、若双曲线 $m y^{2} - 4 x^{2} = 4$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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13、复数 $\frac{2 - i}{1 + 3 i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、已知集合 $A = \{x |2^{x + 1} > 4\}$ ， $B = \{x \in Z |{log}_{2} x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 4]$ B、 $(2, 4]$ C、 $\{1, 2, 3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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15、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0, n > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1}, F_{2}, P$ 为两曲线在第一象限的交点， $e_{1}, e_{2}$ 分别为曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率.若 $∠ P F_{1} F_{2} = ∠ F_{2} P O$ ，则 $e_{2} + \frac{2}{e_{1}}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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16、给定实数 $p \in (0, 1)$ ，对于正整数 $n (n \geq 2)$ ，设数列 ${\{a_{i}\}}_{i}^{n} = 1$ 满足每一项取1的概率为 $p$ ，取0的概率为 $1 - p$ ，且各项取值相互独立.如果数列 ${\{a_{i}\}}_{i}^{n} = 1$ 中的0将数列分成（ $c_{1}$ 项、 $c_{2}$ 项、…、 $c_{k}$ 项 $(k \in N^{*})$ ）全为1 的连续段，则记 $W (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = c_{1}^{2} + \dots + c_{k}^{2}$ ，特别地，定义 $W (0, 0, ..., 0) = 0$ ，例如， $n = 9$ 时， $W (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1) = 2^{2} + 1^{2} + 3^{2} = 14$ .

(1)、 $n = 4$ 时，记随机变量 $X_{1} = W (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) ，$ 求 $X_{4} = 2$ 的概率.

(2)、对于数列 ${\{a_{i}\}}_{i}^{n} = 1$ ，定义 $Z (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 为：若 $a_{n} = 1$ ，则它是最大的正整数 $m \in \{1, 2, \dots, n\}$ ，使 $a_{n} = a_{n - 1} = \dots = a_{n - m + 1} = 1$ ；若 $a_{n} = 0$ ，则它为0，例如， $n = 5$ 时， $Z (1, 0, 1, 1, 1) = 3$ .
（i） $n = 3$ 时，求随机变量 $Z_{3} = Z (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 的分布及数学期望；
（ii）求随机变量 $Z_{n} = Z (a_{1}, \dots, a_{n})$ 的数学期望.

(3)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，求随机变量 $W_{n} = W (a_{1}, \dots, a_{n})$ 的数学期望.

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17、已知函数 $f (x) = (x - a) ln x - x ， a \in R .$

(1)、若函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、设 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是 $f (x)$ 的两个极值点，证明：
(i) $ln x_{1} + ln x_{2} < - 2$ ；
(ii) $x_{2} - x_{1} < e^{- 2} + 2 a + 1.$

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的方程为： ${(x + \sqrt{3})}^{2} + y^{2} = 16$ ，定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ ， B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T.

(1)、求点 $T$ 的轨迹 $W$ 的方程；

(2)、轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 $k_{1}$ ， NQ的斜率为 $k_{2}$ 且 $k_{1} = 3 k_{2}$ ， $△ M P Q$ 与 $△ N P Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $|S_{1} - S_{2}|$ 的最大值.

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19、如图，圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中， $A B$ 是底面圆 $O_{2}$ 上的一条直径， $P$ ， $Q$ 分别是底面 $O_{2}$ ， $O_{1}$ 圆周上的一点， $P Q // O_{1} O_{2}$ ， $A B = 2 P Q$ ，且点 $P$ 不与 $A$ ， $B$ 两点重合.

(1)、证明：平面 $A P Q ⊥$ 平面 $B P Q$ ；

(2)、若二面角 $A - O_{1} O_{2} - P$ 为 $60 °$ ，求直线 $B Q$ 与平面 $P Q O_{1}$ 所成角的正弦值.

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20、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a - b \cos C = \frac{\sqrt{3}}{3} c \sin B, a = 2, c = 6$ ， D为边 $A C$ 上的靠近点C的三等分点．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、求 $|B D|$ ．

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