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相关试卷

1、已知某人每次投篮的命中率为 $p (0 < p < 1)$ ，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则 $\frac{4 D (X) - 3}{2 E (X)}$ 的最大值为．

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2、已知复数 $z$ 满足 $|z - (1 + 2 i)| = 0$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $|z| =$ （）

A、 $5$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $1$ D、 $2$

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3、已知点A，B分别是双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的上、下顶点，点P满足 $| P B | = 2 | P A |$ ．

(1)、求点P的轨迹方程；

(2)、是否存在点P，使得过点P的动直线l交双曲线C于M，N两点，且 $B M$ 与 $B N$ 的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D, C D ⊥ A D, A B = A D = P D = \frac{1}{2} C D = 1, P A = \sqrt{2}, P C = \sqrt{5}$ ，点Q为棱 $P C$ 上一点．

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、当点Q为棱 $P C$ 的中点时，求直线 $P A$ 与平面 $B D Q$ 所成角的正弦值；

(3)、当二面角 $P - B D - Q$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，求 $\frac{P Q}{P C}$ ．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = (n - 1) 3^{n} + 1$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知 $d_{n} = \frac{a_{n}}{n + 1}$ ，求数列 ${\frac{1}{d_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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6、已知函数 $f (x) = a \sin x \cos x + \cos (2 x + \frac{π}{6})$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求a的值；

(2)、若 $f (\frac{θ}{2} - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，求 $\cos (2 θ - \frac{π}{3})$ 的值．

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} + x + a (a \in R)$ 及点 $P (- 1, 0)$ ．

(1)、若点P在 $f (x)$ 的图象上，求曲线 $y = f (x)$ 在点P处的切线的方程；

(2)、若点P在 $f (x)$ 的图象外，过点P与 $f (x)$ 的图象相切的直线斜率是1，求a的取值．

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 3, x \leq 1 \\ x + \frac{1}{x} - 1, x > 1 \end{array}$ ，若当 $x \in [a, b]$ 时， $1 \leq f (x) \leq 3$ ，则 $b - a$ 的最大值是．

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9、直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长均为2， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，则直线 $A A_{1}$ 到平面 $B B_{1} D_{1} D$ 的距离为．

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10、抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（）

A、A与C互斥 B、B与C对立 C、A与B相互独立 D、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

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11、已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的有（）

A、若a，b，c成等差数列，则 $5 a, 5 b, 5 c$ 成等比数列 B、若a，b，c成等比数列，则 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 成等比数列 C、若a，b，c成等差数列，则 $2^{a}, 2^{b}, 2^{c}$ 成等比数列 D、若 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 成等比数列，则a，b，c成等比数列

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12、已知斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的直线过双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的左焦点F，且与C的左，右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为 $A B$ 的中点，若 $△ O F P$ 是以 $F P$ 为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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13、圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ ，则圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ （）

A、相离 B、有3条公切线 C、关于直线 $x - y = 0$ 对称 D、公共弦所在直线方程为 $x + y + 1 = 0$

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14、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则直线 $A_{1} D$ 与 $A C$ 所成角的正弦值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、椭圆 $E_{1} : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 与椭圆 $E_{2} : \frac{x^{2}}{9 - k} + \frac{y^{2}}{4 - k} = 1 (0 < k < 4)$ 的（）

A、长轴长相等 B、短轴长相等 C、离心率相等 D、焦距相等

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16、设集合 $A = {0, a}, B = {a - 2, 3 a - 4}$ ，若 $B = A$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- 2$

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17、已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且 $\vec{O M} = \vec{O A} + 2 x \vec{O B} + y \vec{O C}$ ，若M，A，B，C四点共面，则 $2 x + y$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} {(x + 1)}^{2}, & x \leq 0 \\ |ln x|, & x > 0 \end{matrix}$ ，则方程 $f (f (x)) - m = 0 (m \in R)$ 实数根的个数可以为（）

A、4 B、6 C、7 D、9

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19、某保险公司随机选取了200名不同驾龄的投保司机，调查他们投保后一年内的索赔情况，结果如下：
单位：人
一年内是否索赔
驾龄
合计
不满10年
10年以上
是
10
5
15
否
90
95
185
合计
100
100
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，分析表中的数据，能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄有关？

(2)、保险公司的大数据显示，每年投保的新司机索赔的概率为 $p$ ，投保的老司机索赔的概率均为 $q (p \neq q)$ ．假设投保司机中新司机的占比为 $β (0 < β < 1)$ .随机选取一名投保司机，记事件“这名司机在第 $i$ 年索赔”为 $A_{i}$ ，事件“这名司机是新司机”为 $B$ .已知 $P (A_{i} |B) = P (A_{i} |A_{j} B), P (A_{i} |\bar{B}) =$ $P (A_{i} |A_{j} \bar{B})$ $(i \neq j)$ .
（i）证明： $P (A_{1} A_{2} B) = P (A_{2} |A_{1} B) P (A_{1} |B) P (B)$ ；
（ii）证明： $P (A_{2} |A_{1}) > P (A_{1})$ ，并给出该不等式的直观解释.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$χ_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$

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20、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2, A C = B C$ ， $l$ 为平面 $A B C$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 的交线， $P$ 为直线 $l$ 上一点．

(1)、若 $A C = 2$ ，求 $△ P A C$ 的面积；

(2)、若平面 $A A_{1} B$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $A C$ ．

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一年内是否索赔	驾龄		合计
一年内是否索赔	不满10年	10年以上	合计
是	10	5	15
否	90	95	185
合计	100	100	200

$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$
$χ_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$