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相关试卷

1、双曲线 $C^{'} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，过左焦点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线的左支、右支分别交于点 $A, B$ ，当直线 $l$ 与 $y$ 轴垂直时， $|A B| = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线 $C^{'}$ 的方程；

(2)、点 $C (12, 0)$ 满足 $C B ∥ O A$ ，其中 $O$ 是坐标原点，求四边形 $O A B C$ 的面积.

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2、某手机厂对屏幕进行两项独立检测：亮度检测通过率 $\frac{7}{8}$ ，色准检测通过率 $\frac{4}{5}$ .产品需通过两项检测才算合格.随机抽取3件产品，设合格品数为X.

(1)、求单件产品为合格品的概率；

(2)、求X的分布列及数学期望；

(3)、已知合格品利润100元/件，若改进工艺能使亮度检测通过率提升至 $\frac{9}{10}$ ，但每件成本增加1元.是否值得改进？

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3、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为菱形，三棱锥 $P - A B D$ 为正四面体，则三棱锥 $P - A B D$ 与三棱锥 $P - B C D$ 的外接球半径之比为.

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4、若 $tan θ = 2$ ，则 $\frac{cos θ (1 - sin 2 θ)}{sin (θ - \frac{π}{4})} =$ .

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = S_{5} = 5$ ，则公差 $d =$ .

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6、在平面直角坐标系 $O x y$ 中，动点 $P$ 在直线 $l : y = x$ 上的射影为点 $Q$ ，且 $|O P| + |P Q| = 1$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于原点 $O$ 对称 B、点 $Q$ 的轨迹长度为1 C、 $\frac{1}{2} \leq |O P| \leq 1$ D、曲线 $C$ 围成的封闭区域的面积小于2

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7、设函数 $f (x) = x {(x - a)}^{2}, a \neq 0$ ，则（）

A、当 $a = 3$ 时， $f (x)$ 有极大值4 B、当 $a = 3$ 时， $f (x + 3) \geq f (x)$ C、当 $a > 1$ 时， $f (a^{2} + a) > f (2 a + 1)$ D、当 $a < - 1$ 时， $f (a^{2} + a) > f (2 a + 1)$

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8、有两组数据，数据A：1，3，5，7，9和数据B：1，2，4，8，16，则（）

A、数据A的平均数小于数据B的平均数 B、数据A的方差小于数据B的方差 C、数据A的极差小于数据B的极差 D、数据A的中位数小于数据B的中位数

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9、狄利克雷函数 $D (x)$ 定义为： $D (x) = \{\begin{array}{l} 1, x 为有理数 \\ 0, x 为无理数 \end{array}$ ，以下选项中正确的是（）

A、不存在 $a \in R$ ，使得 $D (a + x) = D (a - x)$ 恒成立 B、存在 $a \in R$ ，使得 $D (a + x) + D (a - x) = 1$ 恒成立 C、对任意 $x_{1}, x_{2}$ ，满足 $D (x_{1}) D (x_{2}) = D (x_{1} + x_{2})$ D、函数图象上存在三点 $A, B, C$ ，使得 $△ A B C$ 是直角三角形

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10、已知过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点 $F$ 的直线与该抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $|A F| + 4 |B F| = 9$ ，则 $p$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $A = 30 °, a = \sqrt{2}, b = 2$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $B < 60 °$ B、 $B > 90 °$ C、 $c > 2$ D、 $c < 3$

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12、已知函数 $f (x) = a \sqrt{x} - ln x$ 在区间 $(1, 4)$ 上单调递增，则 $a$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、将一个棱长为6cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径为3cm的圆锥体零件，则该圆锥体零件的高约为（）（ $π$ 取 $3$ ）

A、8cm B、12cm C、16cm D、24cm

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14、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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15、已知集合 $A = {x | - 6 < x^{2} < 6}$ ，集合 $B = \{- 3, - 1, 0, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 3, - 1, 0\}$ D、 $\{- 1, 0, 2\}$

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16、设有穷数列 $\{a_{n}\}$ 的项数 $m (m \geq 2)$ ，若正整数 $k (2 \leq k \leq m)$ 满足 $\forall n < k$ ， $a_{n} > a_{k}$ 则称 $k$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“低洼点”．

(1)、若 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (2^{n} - 7) (1 \leq n \leq 5)$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的“低洼点”；

(2)、已知有穷等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为 $2$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若数列 $\{S_{n} + \frac{1}{S_{n}}\}$ 存在“低洼点”，求正数 $b_{1}$ 的取值范围；

(3)、若 $c_{n} \geq c_{n - 1} - 1 (2 \leq n \leq m)$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 的“低洼点”的个数为 $s$ ，证明： $c_{1} - c_{m} \leq s$

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17、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a ln (1 - x)$ ，其中 $a \in R$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f^{'} (\frac{1}{2})$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，讨论函数的单调性；

(3)、若函数 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $\frac{1}{2} - ln 2 < \frac{2 f (x_{1})}{x_{2}} < 0$ ．

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的右焦点为 $F (\sqrt{3}, 0)$ 且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $P (0, 1)$ ，不过点 $P$ 的直线 $l$ 与双曲线交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $P A$ ， $A B$ ， $P B$ 的斜率依次成等比数列，求点 $P$ 到直线 $l$ 距离的取值范围．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P C D$ 为等边三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ C D A = \frac{π}{2}$ ， $A D = 2 B C$ ， $B C / / A D$ ， $B C ⊥ P D$ ．

(1)、求证：面 $P C D ⊥$ 面 $A B C D$ ；

(2)、若直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求二面角 $A - P B - D$ 的余弦值．

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，且满足 $b_{1} = 3 a_{1} = 3$ ， $b_{2} = S_{2} + 6$ ， $b_{3} = S_{3} + 21$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = b_{n} + \frac{1}{S_{n}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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