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相关试卷

1、下列说法中正确的是（）

A、若 $a > b$ ， $c \neq 0$ ，则： $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ B、若 $- 2 < a < 3$ ， $1 < b < 2$ ，则： $- 3 < a - b < 1$ C、若 $a > b > 0$ ， $m > 0$ ，则： $\frac{m}{a} < \frac{m}{b}$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则： $a c > b d$

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2、下列命题正确的有（）

A、 $\exists x \in Z$ ， $4 < 5 x < 5$ B、 $\exists x \in Z$ ， $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 7 = 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $2 x^{2} + 3 x + 4 > 0$

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3、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} −(a +1) x + a <0$ 的解集中恰有1个整数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $\{a |−1< a ≤0$ 或 $2≤ a <3\}$ B、 $\{a |−2≤ a <−1$ 或 $3 < a ≤4\}$ C、 $\{a |−1≤ a <0$ 或 $2< a ≤3\}$ D、 $\{a |−2< a <−1$ 或 $3< a <4\}$

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4、某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买 $x$ 台机器人的总成本为 $P (x) = \frac{1}{600} x^{2} + x + 150$ （单位：万元）.若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人（）

A、100台 B、200台 C、300台 D、400台

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5、已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，集合 $A = \{0, 2, 4, 5\}$ ，集合 $B = \{2, 3, 4, 6\}$ ，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）

A、{2，4} B、{0，3，5，6} C、{0，2，3，4，5，6} D、{1，2，4}

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6、不等式 $\frac{2}{x + 1} \leq 1$ 的解集是（）

A、 $\{x |- 1 < x \leq 1\}$ B、 $\{x |x \leq - 1$ 或 $x \geq 1\}$ C、 $\{x |x < - 1$ 或 $x > 1\}$ D、 $\{x |x < - 1$ 或 $x \geq 1\}$

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7、以下命题既是存在量词命题又是真命题的是（）

A、锐角三角形有一个内角是钝角 B、至少有一个实数 $x$ ，使 $x^{2} = 0$ C、两个无理数的和必是无理数 D、存在一个负数 $x$ ，使 $\frac{1}{x} > 2$

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8、设集合 $A = \{x | x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ， $B = \{x | - x^{2} + 6 x - 8 \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | 2 \leq x < 3\}$ B、 $\{x | - 1 \leq x < 4\}$ C、 $\{x | 2 < x \leq 3\}$ D、 $\{x | - 1 < x \leq 4\}$

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9、已知四棱锥 $P - A B C D$ 如图， $A B / / C D$ 且 $A B = 2 C D$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A P$ ， $A B$ 的中点，则下列说法正确的有（）

A、 $P C / /$ 平面 $D M N$ B、四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，三棱锥 $D - A M N$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{9}{2}$ C、平面 $P C D$ 与平面 $P A B$ 的交线记为 $l_{1}$ ，则直线 $l_{1} / /$ 平面 $A B C D$ D、平面 $P D A$ 与平面 $P B C$ 的交线记为 $l_{2}$ ，则直线 $l_{2} / /$ 平面 $D M N$

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10、若 $n$ 是数据 $3, 1, 2, 2, 3, 9, 10, 3$ 的第75百分位数，则二项式 ${(2 \sqrt{x} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式的常数项是（）

A、240 B、90 C、12 D、5376

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, 0) ， \vec{b} = (x, 1) ，$ 若 $\vec{b} \cdot (\vec{b} - 2 \vec{a}) = 0 ，$ 则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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12、已知 $\vec{a} = (3, m)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、1

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x - 2) + b + 1$ ，其中 $a, b \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知 $a \neq 0$ ，若 $f (x) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，求 $\frac{b + 2}{a}$ 的最小值．

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14、设函数 $f (x) = x - x^{3} e^{a x + b}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x + 1$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(3)、求 $f (x)$ 的极值点个数．

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $sin A (sin A - sin C) = {sin}^{2} (A + C) - {sin}^{2} C$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $P$ 为边 $A C$ 上一点（异于端点）， $∠ B P C = 2 ∠ A$ ，求 $\frac{|A P|}{|P C|}$ 的取值范围.

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于两个不同的点 $A, B$ ，且 $F$ 为线段 $A B$ 的一个三等分点，则 $k^{2} =$ （）

A、4 B、8 C、12 D、16

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17、对于给定的 $n$ 项整数数列 $A_{n}$ ： $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ （ $n \geq 3$ ），定义变换 $H (i)$ ：①若 $i = 1$ ，则 $a_{1}$ 加 $2$ ， $a_{n}, a_{2}$ 均加 $1$ ，其余项不变；②若 $1 < i < n$ ，则 $a_{i}$ 加 $2$ ， $a_{i - 1}, a_{i + 1}$ 均加 $1$ ，其余项不变；③若 $i = n$ ，则 $a_{n}$ 加 $2$ ， $a_{n - 1}, a_{1}$ 均加 $1$ ，其余项不变．例如，对数列： $- 1, 0, 1$ 做变换 $H (1)$ 得到 $1, 1, 2$ ，即 $- 1, 0, 1 \overset{变换 H (1)}{\to} 1, 1, 2$ ；而对数列： $2, 5, 7, 3$ 先后做变换 $H (3)$ ， $H (4)$ 可得到 $3, 6, 10, 6$ ，即 $2, 5, 7, 3 \overset{变换 H (3)}{\to} 2, 6, 9, 4 \overset{变换 H (4)}{\to} 3, 6, 10, 6$ ．

(1)、找出一系列变换，使得数列： $1, 2, 3$ 经过这系列变换后成为常数列；

(2)、是否能找出一系列变换，使得数列： $- 1, - 1, 0, 2, 2$ 经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当 $n$ 为奇数时，对于任意数列 $A_{n}$ ，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）．

(3)、当 $n$ 为偶数且数列 $A_{n}$ 是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由．

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18、已知函数 $f (x) = e^{x + a}$ （ $a \in R$ ）， $O$ 为坐标原点．

(1)、当 $a = 1$ 时，
（i）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处的切线方程；
（ii）若点 $P$ 是函数 $f (x)$ 图象上一点，求 $|O P|$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 图象上存在不同两点 $A, B$ 满足 $|O A| = |O B| = \sqrt{1 + |a|}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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19、已知双曲线 $E :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0, b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 2 \sqrt{2}$ ，圆 ${(x - \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 1$ 与 $E$ 的渐近线相切．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、若 $E$ 上两点 $A, B$ 满足 $\vec{F_{2} B} = λ \vec{F_{1} A}$ （ $λ > 1$ ），且四边形 $A F_{1} F_{2} B$ 的面积为 $\frac{4}{3} \sqrt{7}$ ，求 $λ$ 的值．

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20、某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在 $A, B$ 两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在 $A, B$ 两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在 $A$ 点投中得 $2$ 分，在 $B$ 点投中得 $3$ 分，未投中均得 $0$ 分，各次投中与否相互独立．

(1)、在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下 $2 \times 2$ 列联表：
得分 $\geq 3$ 分
得分 $< 3$ 分
合计
先在 $A$ 点投篮
20
5
25
先在 $B$ 点投篮
10
15
25
合计
30
20
50
是否有 $99 %$ 的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？

(2)、小明在 $A$ 点投中的概率为 $0.7$ ，在 $B$ 点投中的概率为 $0.3$ ．
（i）求小明第一次投中的概率；
（ii）记小明投篮总得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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	得分 $\geq 3$ 分	得分 $< 3$ 分	合计
先在 $A$ 点投篮	20	5	25
先在 $B$ 点投篮	10	15	25
合计	30	20	50

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828