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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x | \log_{2} (x - 2) \leq 1\}$ ， $B = \{x | 2 x - a \leq 0\}$ ，且 $A \cap B = \{x |2 < x \leq 3\}$ ，则 $a =$ （）

A、6 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 6$

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2、“ $x > 1$ 是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充分且不必要条件 B、必要且不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、数据 $12$ ， $12$ ， $12$ ， $14$ ， $15$ 的平均数与众数的差为（）

A、 $2$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $- 2$

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4、深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中 $\frac{2}{5}$ 的人选择只游览海滨栈道，另外 $\frac{3}{5}$ 的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率.

(1)、从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、从游客中随机抽取 $n$ 个人 $(n \in N^{*})$ ，记这 $n$ 个人的合计得分恰为 $n + 1$ 分的概率为 $p_{n}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{n} p_{i}$ ；

(3)、从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为 $n$ 分 $(n \in N^{*})$ 的概率为 $a_{n}$ ，随着抽取人数的无限增加， $a_{n}$ 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $M (1, \frac{3}{2})$ 在 $C$ 上，且 $M F ⊥ x$ 轴.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (4, 0)$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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6、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, A B$ $∥$ $C D, A D ⊥ C D, P A = P D = A D = C D = 2$ ， $A B = 1, M$ 为棱 $P C$ 上一点.

(1)、证明： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、若 $P A$ $∥$ 平面 $B M D$ ，求直线 $P C$ 与平面 $B M D$ 所成角的正弦值.

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7、已知 $a > 0, b > 0, c > 0, a + 2 b + 2 a b = 3, \frac{(a + 2) (c + 1)}{3 (a + 1)} + \frac{c + 1}{6 b + 3} + \frac{4}{c + 2}$ 的最小值为.

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8、如图，等边 $△ A B C$ 的边长为4， $D$ 为边 $A B$ 的中点，将 $△ A B C$ 沿 $C D$ 折成三棱锥 $A_{1} - B C D$ ， $A_{1}$ ， B，C，D都在球 $O$ 的球面上．记 $A_{1} C$ ， $A_{1} D$ ， $A_{1} B$ 与平面 $B C D$ 所成的角分别为 $α_{1}$ ， $β_{1}$ ， $γ_{1}$ ，平面 $A_{1} D C$ ， $A_{1} D B$ ， $B D C$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成的角分别为 $α_{2}$ ， $β_{2}$ ， $γ_{2}$ ，则（）

A、 $C D$ 与 $A_{1} B$ 所成的角为定值 B、球 $O$ 的表面积的最大值为 $20 π$ C、 $\frac{2}{\tan β_{1}} \neq \frac{1}{\tan α_{1}} + \frac{1}{\tan γ_{1}}$ D、存在点 $A_{1}$ 使得 $α_{2} = β_{2} = γ_{2}$

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9、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x) = {(x - 1)}^{3} + 2 (x - 1)$ ，下列判断正确的是（）

A、函数 $f^{'} (x)$ 关于 $(1, 0)$ 中心对称，函数 $f (x)$ 关于 $x = 1$ 轴对称 B、在复数范围内方程 $f^{'} (x) = 0$ 有三个根，且三个根的和为3 C、 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < f (x^{2})$ D、四次函数 $g (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e (a \neq 0)$ 必为轴对称函数

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} - x - 1, g (x) = m (e^{x} - x - 1 - 2 m) (e^{x} - x + m + 2)$ ，对任意 $x \in [1, + \infty)$ ，都有 $g (x) < 0$ ，且存在 $x_{0} \in (- \infty, - 1)$ ，使得 $g (x_{0}) > 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(1, e)$ B、 $(- 1 - e, - \frac{1}{e})$ C、 $(- 1 - e, - 3 - \frac{1}{e})$ D、 $(- e, - \frac{1}{e})$

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11、只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（）

A、30个 B、36个 C、42个 D、48个

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12、已知 $⊙ C$ 的半径为 $1$ ，直线 $l : a x + 2 b y + 3 c = 0$ 恒过点 $C$ ，且 $a, b, c$ 成等差数列，过点 $P (2, - 1)$ 作 $⊙ C$ 的切线，则点 $P$ 到切点的距离为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3$

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13、曲线 $y = e^{- 2 x} + 1$ 在点 $(0, 2)$ 处的切线与直线 $y = 0$ 和 $y = x$ 围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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14、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ ，且 $(\vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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15、若复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = - 3 + 4 i$ （ $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 的虚部是（）

A、1 B、2 C、 $i$ D、 $2 i$

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16、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | |x - 2| \leq 1\}$ ， $B = \{x | x \geq 2\}$ ，则集合 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 2]$ C、 $[1, 2)$ D、 $[1, 2]$

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17、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E、F、G分别为棱 $A B$ 、 $B C$ 、 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B_{1} E$ ∥平面 $A C G$ ；

(2)、在线段 $C C_{1}$ 是否存在一点 $N$ ，使得平面 $N E F$ ∥平面 $A_{1} B C_{1}$ ？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．

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18、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 1$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{d} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，求 $|\vec{c} + 2 \vec{d}|$ ．

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19、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, - 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ；当 $t \in [- 1, 2]$ 时， $|t \vec{a} + \vec{b}|$ 的取值范围为．

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20、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： $cm$ ），那么该壶的侧面积约为 ${cm}^{2}$ .

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