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相关试卷

1、已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 2), \vec{B C} = (4, - 1)$ ，则向量 $\vec{A C}$ 在向量 $\vec{A B}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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2、若复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $1 + i$ D、 $2 - 2 i$

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3、设 $a$ ， $b \in N^{*}$ ，定义： $(a, b)$ 为 $a$ ， $b$ 的最大公约数， $[a, b]$ 为 $a$ ， $b$ 的最小公倍数，且具有以下性质：① $(a, b) \cdot [a, b] = a b$ ；②当 $b > a$ 时， $(a, b) \leq b - a$ .

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 2^{n + 1}$ ， $b_{n} = 8 n + 4$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，令 $c_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知有限数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} \in N^{*}$ ，且 $1 < a_{1} < a_{2} < a_{3} < \cdot \cdot \cdot < a_{n} < t$ （ $t$ 为给定常数）.若对 $\forall i \in N^{*}$ ，且 $1 \leq i \leq n - 1$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ）时，都有 $[a_{i}, a_{i + 1}] \leq t$ .
（ⅰ）当 $a_{n} \geq 2 a_{n - 1}$ 时，证明： $t > 2 n$ ；
（ⅱ）证明： $\frac{1}{[a_{1}, a_{2}]} + \frac{1}{[a_{2}, a_{3}]} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{[a_{n - 1}, a_{n}]} < \frac{1}{2}$ .

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4、已知点 $A (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上一点， $E$ 的焦距为2.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过 $E$ 的右焦点作斜率不为0的直线 $l$ ，交 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是 $E$ 的左、右顶点，记直线 $A_{1} P$ ， $A_{2} Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .
（ⅰ）求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值；
（ⅱ）设 $G$ 为直线 $A_{1} P$ 与直线 $A_{2} Q$ 的交点，记 $△ G P Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ G A_{1} A_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值.

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5、已知函数 $f (x) = x - a \ln x - a$ （ $a \neq 0$ ）.

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) + e \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A D = C D = 2 A B = 4$ ， $∠ B A D = 90 °$ ，侧面 $P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $A M / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $M B C$ 的夹角的余弦值.

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7、甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且每局比赛结果相互独立.

(1)、求赛完4局且乙获胜的概率；

(2)、若规定每局获胜者得2分，负者得 $- 1$ 分，记比赛结束时甲最终得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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8、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，过 $F_{1}$ 作斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线交 $C$ 于点 $A$ ，且 $A$ 在第一象限，若 $|O A| = |O F_{1}|$ （ $O$ 为坐标原点），则 $C$ 的离心率为.

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9、已知 $(1 - x + x^{2}) {(1 + x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{12} x^{12}$ ，则 $a_{3} =$ .（用数字作答）

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10、已知函数 $f (x) = tan (\frac{π}{2} x - \frac{π}{3})$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为.

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11、胆式瓶创于南宋龙泉窑，康熙时期以郎红釉胆式瓶为贵.如图是18世纪的窑变红釉胆瓶，其优美的造型可看作图中曲线 $C$ 的一部分.已知曲线 $C$ 上的点到 $(0, 4)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为6，若曲线 $C$ 上的点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在第一象限，则（）

A、 $x_{0}$ 的最大值为 $\sqrt{6}$ B、 $y_{0} < 4 + \frac{6}{x_{0}}$ C、曲线 $C$ 的内接矩形的面积最大值为24 D、一个胆式瓶的剖面图可近似看作曲线 $C$ （ $0 < y < 12$ ），若一正四面体可在胆式瓶内任意转动（忽略胆式瓶的厚度），则该正四面体棱长的最大值为4

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12、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ，则（）

A、当 $a b = 1$ 时， $f (a) = f (b)$ B、当 $0 < a < b < 1$ 时， $f (a) > f (b)$ C、当 $- 1 < a < 0$ 且 $\frac{1}{a} < b < a$ 时， $f (a) > f (b)$ D、当 $b > 1$ 且 $\frac{1}{b} < a < b$ 时， $f (a) < f (b)$

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13、已知直线 $l$ ： $x - 2 y + 1 = 0$ 和圆 $C$ ： ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ ，则（）

A、当 $l$ 与圆 $C$ 相切时， $a = \sqrt{5} - 1$ B、当 $l$ 为圆 $C$ 的一条对称轴时， $a = - 1$ C、当 $a = 2$ 时， $l$ 与圆 $C$ 没有公共点 D、当 $a = - 2$ 时， $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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14、已知 $\frac{\sin (2 α + β)}{\sin α} - 2 \cos (α + β) = \frac{\cos β}{\cos α}$ ，则（）

A、 $cos (α - β) = - 1$ B、 $sin (α + β) = - \frac{1}{2}$ C、 $sin (α - β) = 0$ D、 $cos (α + β) = \frac{1}{2}$

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15、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为2，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，点 $P$ 在正四面体表面上运动，并且总保持 $P E ⊥ B C$ ，则动点 $P$ 的轨迹周长为（）

A、4 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 + \sqrt{3}$ D、 $2 + 2 \sqrt{3}$

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16、已知函数 $f (x + 1) - 1$ 是奇函数，则 $f (0) + f (2) =$ （）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $4 c^{2} + b^{2} = 4 a b \sin C$ ， $b = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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18、我国19岁射击运动员盛李豪在2024年巴黎奥运会上夺得了男子10米气步枪金牌，他在决赛的最后10枪成绩为10.9，10.7，10.4，10.0，10.5，9.8，10.7，9.9，10.5，10.6，则这10枪成绩的第40百分位数是（）

A、10.5 B、10.45 C、10.4 D、10.25

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19、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，若向量 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ， $x \vec{a} - 9 \vec{b}$ 共线，则 $x =$ （）

A、6 B、4 C、 $- 4$ D、 $- 6$

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20、已知 $z = \frac{2 - i}{1 + 2 i}$ ，则 $|z - 1| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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