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相关试卷

1、已知正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为2，若 $a_{1}, a_{2}, a_{3} + 1$ 成等比数列，则 $a_{4} =$ （）

A、 $2 + 3 \sqrt{2}$ B、 $- 2 + 3 \sqrt{2}$ C、 $2 - 3 \sqrt{2}$ D、 $2 + 3 \sqrt{2}$ 或 $2 - 3 \sqrt{2}$

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2、函数 $f (x) = x^{2} - x$ 在区间 $[1, 3]$ 上的平均变化率为（）

A、6 B、3 C、2 D、1

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4, a_{5} = 12$ ，则 $S_{6}$ 等于（）

A、56 B、53 C、55 D、54

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4、若一数列的前4项分别为 $\frac{1}{3}, - \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, - \frac{1}{9}$ ，则该数列的通项公式可能为（）

A、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 n + 1}$ B、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 1}$ C、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 n - 1}$ D、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n - 1}$

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5、已知 $p : |2 x - 5| \leq 3$ ， $q : x^{2} - (a + 2) x + 2 a \leq 0$ .
（1）若 $p$ 是真命题，求对应 $x$ 的取值范围；
（2）若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求 $a$ 的取值范围.

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6、（1）求函数 $y = \frac{x^{2} - 3 x + 3}{x - 1}, x \in (1, + \infty)$ 的最小值及取得最小值时的 $x$ ；
（2）求函数 $y = 2 x + 4 \sqrt{1 - x}$ 的值域.

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7、（1）设函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 1]$ ，求下列函数的定义域：
① $f (x^{2})$ ；② $f (\sqrt{x} - 2)$ .
（2）函数 $y = f (x + 1)$ 的定义域是 $[- 2, 3]$ ，求函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域.

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8、在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合 $A$ 由全体二元有序实数组组成，在 $A$ 上定义一个运算，记为 $⊙$ ，对于 $A$ 中的任意两个元素 $α = (a, b), β = (c, d)$ ，规定： $α ⊙ β = (a d + b c, b d - a c)$ .则 $(2, 3) ⊙ (- 1, 4) =$ .

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9、已知函数 $f (x) = x^{2}$ 的值域为 $[0, 36]$ ，则 $f (x)$ 的定义域可能为（）

A、 $[2, 6]$ B、 $[- 2, 6]$ C、 $[- 6, 6]$ D、 $[0, 6]$

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10、下列结论不正确的是（）

A、当 $x > 0$ 时， $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} ⩾ 2$ B、当 $x > 0$ 时， $\frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值是2 C、当 $x < \frac{5}{4}$ 时， $2 x - 1 + \frac{2}{4 x - 5}$ 的最小值是 $\frac{5}{2}$ D、设 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值是 $\frac{9}{2}$

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11、“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为（）

A、20 B、15 C、25 D、30

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12、下列各组中的两个函数是同一函数的是（       ）
① $y_{1} = \frac{(x + 3) (x - 5)}{x + 3}$ ， $y_{2} = x - 5$ ；   ② $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ ；
③ $h (x) = x$ ， $m (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ ；               ④ $f_{1} (x) = {(\sqrt{2 x - 5})}^{2}$ ， $f_{2} (x) = 2 x - 5$ ．

A、①② B、②③ C、③ D、③④

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13、马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 $n + 1$ 次状态的概率分布只跟第 $n$ 次的状态有关，与第 $n - 1, n - 2, n - 3, \dots$ 次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有 $A, B$ 两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从 $A, B$ 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行 $n (n \in N^{*})$ 次这样的操作后，记 $A$ 盒子中红球的个数为 $X_{n}$ ，恰有1个红球的概率为 $p_{n}$ .

(1)、求 $p_{1}, p_{2}$ 的值；

(2)、求 $p_{n}$ 的值（用 $n$ 表示）；

(3)、求证： $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n})$ 为定值.

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14、若 $\frac{z + 2}{z} = 2 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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15、在同一直角坐标系中，直线 $y = a x + a^{2}$ 与圆 ${(x + a)}^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的位置不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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16、如图所示， $M$ 是单位圆与 $x$ 轴正半轴的交点，点 $P$ 在单位圆上， $∠ M O P = x$ ，四边形 $O M Q P$ 为平行四边形，函数 $f (x) = \vec{O M} \cdot \vec{O Q} + \sin x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、若 $f (x)$ 在 $[0, t]$ 上仅存在两个零点，求 $t$ 的取值范围．

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17、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, A > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的一段图象如图所示；

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (α) = \frac{2}{3}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $f (α - \frac{π}{4})$ 的值．

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (3, 3), B (5, 1), P (2, 1)$ ，点 $M$ 是直线 $O P$ 上的一个动点．

(1)、求 $|\vec{P A} - \vec{P B}|$ 的值；

(2)、若四边形 $A P B Q$ 是平行四边形，求点 $Q$ 的坐标；

(3)、求 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最小值．

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19、已知 $sin α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ．

(1)、求 $sin (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求 $tan 2 α$ 的值；

(3)、求 $cos (\frac{α}{2} - \frac{2 π}{3})$ 的值．

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20、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值；

(3)、求 $|\vec{a} - λ \vec{b}|$ 的最小值．

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