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相关试卷

1、深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价 $x$ （单位：元）与销量 $y$ （单位：百件）的对应数据，如下表所示：
$x$
12
12.5
13
13.5
14
$y$
14
13
11
9
8

(1)、求该纪念品定价的平均值 $\bar{x}$ 和销量的平均值 $\bar{y}$ .

(2)、计算 $x$ 与 $y$ 的相关系数 $r$ ；判断能否用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，并说明理由.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = - 8$ ， $\sqrt{\frac{64}{65}} \approx 0.992$ .
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .若 $|r| > 0.75$ ，则 $y$ 与 $x$ 的线性相关性很强.

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2、（1）解方程： $C_{9}^{x} = C_{9}^{2 x - 3}$ （ $x \in N$ ）.
（2）甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法？

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3、某校举办元旦晚会，有3个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有种排法（数字作答）

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4、已知随机变量 $X \sim B (4, p)$ ，若 $E (X) = \frac{8}{3}$ ，则 $D (X) =$ .

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5、下列说法正确的是（）

A、 $50^{2019} + 1$ 被7除后的余数为5 B、两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 $\frac{1}{2}$ C、已知 $A_{n}^{2} = C_{n}^{3}$ ，则 $n = 8$ D、从正方体的八个顶点中任取四个顶点，这四点能构成三棱锥的个数为58

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6、对变量 $y$ 和 $x$ 的一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， …， $(x_{n}, y_{n})$ 进行回归分析，建立回归模型，则（）

A、残差平方和越小，模型的拟合效果越好 B、用决定系数 $R^{2}$ 来刻画回归效果， $R^{2}$ 越小，说明模型的拟合效果越好 C、若由样本数据得到经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则其必过点 $(\bar{x}, \bar{y})$ D、若 $y$ 和 $x$ 的样本相关系数 $r = - 0.95$ ，则 $y$ 和 $x$ 之间具有很强的负线性相关关系

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7、已知 ${(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ ，随机变量 $ξ \sim N (1, \frac{1}{4})$ ，若 $\frac{a_{1}}{a_{2}} = E (ξ) D (ξ)$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ 的值为（）

A、81 B、242 C、243 D、80

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8、“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（）

A、21 B、22 C、23 D、24

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9、下列说法不正确的是（）

A、 $P (A B) = P (A) P (B |A)$ B、 $P (A B) \leq P (A)$ C、 $P (A B) = P (A) P (A |B)$ D、 $P (A B) \leq P (B |A)$

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10、对变量 $x$ ， $y$ 有观测数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ ，得散点图；对变量 $u$ ， $v$ 有观测数据 $(u_{i}, v_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ ，得散点图2．由这两个散点图可以判断（）

A、变量 $x$ 与 $y$ 正相关， $u$ 与 $v$ 正相关 B、变量 $x$ 与 $y$ 正相关， $u$ 与 $v$ 负相关 C、变量 $x$ 与 $y$ 负相关， $u$ 与 $v$ 正相关 D、变量 $x$ 与 $y$ 负相关， $u$ 与 $v$ 负相关

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11、 $A_{5}^{2} + C_{6}^{3}$ 的值为（）

A、60 B、40 C、35 D、20

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12、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 5$ ，若 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + 2} \geq 2 m + 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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13、若函数 $f (x) = x |x - a| (0 \leq x \leq 2)$ 的最大值是1，则实数a的值是．

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14、牛顿（Isaac Newton，1643–1727）给出了求函数零点近似值的一种方法——牛顿切线法：如图，设r是 $y = f (x)$ 的一个零点，任意选取 $x_{0}$ 作为r的初始近似值，在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{1}$ ， $l_{1}$ 与x轴的交点横坐标为 $x_{1}$ ，称 $x_{1}$ 为r的1次近似值；在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{2}$ ， $l_{2}$ 与x轴的交点横坐标为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为r的2次近似值.一般地，在点 $(x_{n}, f (x_{n}))$ 处作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{n + 1}$ ， $l_{n + 1}$ 与x轴的交点横坐标为 $x_{n + 1}$ ，称 $x_{n + 1}$ 为r的 $n + 1$ 次近似值，称数列 $\{x_{n}\}$ 为牛顿数列.

(1)、若 $f (x) = x^{3} + 2 x + 1$ 的零点为r， $x_{0} = 0$ ，试用牛顿切线法求r的2次近似值；

(2)、已知 $g (x) = (x - b) (x - c) (c > b)$ ，数列 $\{x_{n}\}$ 为 $g (x)$ 的牛顿数列.
（ⅰ）设 $x_{n + 1} = φ (x_{n})$ ，且 $x_{n} \neq \frac{b + c}{2}$ ，求 $φ (x_{n})$ 的解析式；
（ⅱ）设数列 $\{d_{n}\}$ 满足 $d_{n} = \frac{x_{n} - b}{x_{n} - c} (n \in N^{*})$ ，且 $x_{n} > c$ ，证明： $\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{d_{n}} < \frac{2}{\ln d_{1}}$ .

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15、某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有 $A, B$ 两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为 $\frac{4}{5}$ ， B组每道题答对的概率均为 $\frac{3}{4}$ ， $A, B$ 两组题至少答对3题才可获得一张奖券.

(1)、设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望 $E (X)$ ；

(2)、若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由.

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16、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x + 1} + a (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、判断 $f (x)$ 的零点个数，并说明理由.

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17、有3台车床加工同一型号的零件，第 $1 ， 2 ， 3$ 台车床加工的次品率分别为 $2 % ， 1 % ， 3 % ，$ 加工出来的零件混放在一起.已知第 $1 ， 2 ， 3$ 台车床加工的零件数分别占总数的 $20 % ， 70 % ， 10 % .$

(1)、任取一个零件，计算它是次品的概率；

(2)、如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 4 \times 3^{n}$ ．

(1)、证明： $\{a_{n} - 3^{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19、如图，一质点在随机外力的作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，移动2个单位的概率均为 $1 - p$ .
记质点从原点0移动到数字n的位置的方法种数为 $a_{n}$ ，则 $a_{4} =$ ，记质点从原点0移动5次后位于数字8的位置的概率为 $f (p)$ ，则 $f (p)$ 的最大值是.

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20、已知曲线 $y = x \ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (a + 2) x$ 只有一个公共点，则实数a的一个值是.

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$x$	12	12.5	13	13.5	14
$y$	14	13	11	9	8