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相关试卷

1、已知向量 $\vec{p}, \vec{q}$ 满足： $\vec{p} = (1, - 1), |\vec{q}| = 1, (\vec{p} - \vec{q}) \cdot \vec{q} = - 2$ ，则 $\vec{q}$ 在 $\vec{p}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\sqrt{2}, - \sqrt{2})$ B、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(1, - 1)$

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2、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 $2 π$ ，则圆锥母线与底面所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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3、已知数列 $\{ln a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{3} - a_{1} = 6, a_{3} a_{4} = 8 a_{2}^{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = 2 {log}_{2} a_{n} - 1$ ，记 $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{n + 1 - i}$ ，求 $T_{n}$ ．

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4、 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为a、b、c，若 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A), a = 5, \cos A = \frac{25}{31}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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5、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | \frac{3 - 2 x}{x + 5} \geq 0\}$ ，集合 $B = \{x| |x| > 2\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ ．

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6、甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两人中的任何一人是等可能的．假设第1次由甲将球传出，第k次传球后，球回到甲处的概率为 $p_{k}$ （ $k \in N^{*}$ ），则（）

A、 $p_{2} = \frac{1}{2}$ B、 $p_{3} > p_{4}$ C、 $p_{k} + 2 p_{k + 1} = 1$ D、 $p_{15} > \frac{1}{3}$

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7、已知圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 2$ ，直线 $l : x - 3 y + 3 = 0, P$ 是直线 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $M$ 的切线 $P A$ ，切点为 $A$ ，则当切线长 $|P A|$ 取最小值时，下列结论正确的是（）

A、 $|P A| = 8$ B、点 $P$ 的坐标为 $(0, 1)$ C、 $P A$ 的方程可以是 $y = - x + 1$ D、 $P A$ 的方程可以是 $y = 7 x + 1$

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8、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上不恒为0的偶函数， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上不恒为0的奇函数，则（）

A、 $f (f (x))$ 为奇函数 B、 $g (g (x))$ 为奇函数 C、 $f (g (x))$ 为偶函数 D、 $g (f (x))$ 为偶函数

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9、已知函数 $f (x) = x^{2} (x + b) e^{x}$ ，若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的一个极大值点，则 $b$ 的取值范围为（）

A、 $b > - 3$ B、 $b > 0$ C、 $b < - 3$ D、 $b < 0$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是各项及公差都不为0的等差数列，若 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则“ $a_{1}, a_{2,} a_{5}$ 成等比数列”是“ $\{\frac{S_{n}}{n^{2}}\}$ 为常数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知 $\frac{sin (α + β)}{sin (α - β)} = 2, cos α sin β = \frac{1}{6}$ ，则 $sin α cos β =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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12、如图所示，一种儿童储蓄罐有6个密码格，由购买者设定密码后方可使用，其中密码的数字只能在 $0, 1, 2$ 中进行选择，且每个密码格都必须设定数字，则数字“1”出现奇数次的不同密码个数为（）

A、172 B、204 C、352 D、364

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13、已知复数 $z = \frac{1 + 2 i}{i}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车.他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）.经数据分析， $X_{1} ~ N (60, 10^{2}), X_{2} ~ N (40, 10^{2})$ ， $X_{3} ~ N (40, 15^{2}), X_{4} ~ N (30, 40^{2})$ ，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（）
$P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$

A、步行 B、骑自行车 C、乘坐公汽 D、自己开车

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15、若直线 $y = 2 x + 5$ 是曲线 $y = e^{x} + x + a$ 的切线，则 $a =$ .

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16、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量，向量 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{b} = k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ．若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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17、在一次招聘面试中，小明要依次回答甲､乙､丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为 $0.9, 0.5, 0.4$ ，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为.

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18、已知圆 $C_{1}$ 圆心为原点，且与直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 相切，直线l过点 $M (1, 2)$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、若直线l被圆 $C_{1}$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程．

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左顶点为 $A$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .
（i）证明：直线 $l$ 过定点；
（ii）若 $P$ 在 $x$ 轴上方，直线 $P F_{1}$ 与圆 $M : (x + 1)^{2} + y^{2} = 16$ 交于点 $B$ ，点 $B$ 在 $x$ 轴上方.是否存在点 $P$ ，使得 $△ P B F_{2}$ 与 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的面积之比为3：5？若存在，求出点 $P$ 坐标；若不存在，说明理由.

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20、2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
12
8
米色内饰
2
3

(1)、若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 $A$ 为小明取到红色外观的模型，事件 $B$ 为小明取到棕色内饰的模型，求 $P (B)$ 和 $P (B |A)$ ，并判断事件 $A$ 和事件 $B$ 是否独立.

(2)、该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色.拿到的两个模型仅外观或仅内饰同色，可以获得奖金150元，外观和内饰均为同色可以获得奖金300元，外观和内饰都异色可以获得奖金600元，设 $X$ 为奖金额，写出 $X$ 的分布列并求出 $X$ 的数学期望.

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	红色外观	蓝色外观
棕色内饰	12	8
米色内饰	2	3