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相关试卷

1、如图是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则两个三棱锥 $D - A_{1} B C_{1}$ ， $B_{1} - A D_{1} C$ 的公共部分的内切球的表面积为（）．

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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2、 $P$ 是圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - a^{2})}^{2} = 1$ 上的动点， $Q$ 是直线 $y = x - 2$ 上的动点，则 $|P Q|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{8} - 1$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{8}$

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3、若 $a = {l o g}_{2} \sqrt{3}$ ， $b = {l o g}_{4} \sqrt{6}$ ， $c = {l o g}_{6} 3$ ，则（）

A、 $a = b = c$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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4、已知 $tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1}{2}$ ，则 $sin θ cos θ + cos 2 θ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{11}{9}$ C、 $\frac{11}{10}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5、已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $\overset{⃑}{a} = (1, \sqrt{2})$ ， $| \overset{⃑}{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{21}$ B、21 C、3 D、9

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6、在 $△ A B C$ 中， $\vec{C D} = 2 \vec{D A}$ ，设 $∠ A, ∠ D B C$ 分别为 $α, β, β = λ α$ .

(1)、若 $β = \frac{π}{2}$ .
（i）求 $(2 \vec{A D} + \vec{B D}) \cdot \vec{B D}$ 的值；
（ii）求 $λ$ 的最小值；

(2)、若 $λ = 2, B D = 2 B C$ ，求 $cos β$ 的值.

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7、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内， $M$ 是棱 $C D$ 上一点（不包括端点）， $A M$ 的中点为 $E, P A = P M, P B = P C$ .

(1)、求证： $A D$ $∥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求证： $P E ⊥ B C$ ；

(3)、若二面角 $P - B C - A$ 与二面角 $P - A B - M$ 的大小都为 $\frac{π}{3}$ ，四棱锥 $P - A B C M$ 的体积为 $\frac{3}{4}$ ，求 $A A_{1}$ 的长.

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8、如图，已知 $A B = 2, C D = 4, \vec{A B}, \vec{C D}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} + \vec{B C} \cdot \vec{C D} + \vec{C D} \cdot \vec{D A} + \vec{D A} \cdot \vec{A B}$ 的值；

(2)、若线段 $A D, B C$ 的中点分别为 $P, Q, \vec{P Q} = x \vec{A B} + y \vec{C D}$ .
（i）求实数 $x, y$ 的值；
（ii）求线段 $P Q$ 的长.

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9、已知 $tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ，求下列各式的值.

(1)、 $tan α$ ；

(2)、 $\frac{1 + sin 2 α}{1 + sin 2 α + cos 2 α}$ .

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10、从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题：

(1)、 $[79.5, 89.5)$ 这一组的频率和频数分别为多少？

(2)、估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）；

(3)、估计这组数据的80百分位数.

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11、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为平行四边形，过点 $A$ 的平面 $α$ 与棱 $P B, P C, P D$ 分别交于 $E, F, G$ .若三棱锥 $P - A G F$ 的体积是三棱锥 $P - E G F$ 体积的 $\frac{3}{2}$ 倍，则 $\frac{P E}{P B}$ 的值为.

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12、已知一组数据 $a + 1, a + 2, a + 3, a + 4, a + 5$ ，则这组数据的方差为.

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13、半径为1的球 $O^{'}$ 完全在半径为 $R (R > 1)$ 的球 $O$ 的内部，且两球球面有唯一的公共点 $P$ ，球 $O$ 表面上三点 $A, B, C$ 确定的平面与球 $O^{'}$ 相切，若 $P A = 3, ∠ P A B = ∠ P A C = \frac{π}{4}$ ， $cos ∠ C A B = \frac{4}{5}$ ，则（）

A、 $O, O^{'}, P$ 三点共线 B、 $B C = \frac{8}{5} \sqrt{5}$ C、直线 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成角小于 $\frac{π}{4}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{18}{5}$

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14、已知 $\vec{a} = (cos α, sin α), \vec{b} = (\sqrt{2} cos β, \sqrt{2} sin β)$ ，若 $\vec{a} + \vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，则（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ B、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 2$ C、 $cos (α - β) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{\vec{a}}{2}$

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15、设 $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则下列说法正确的有（）

A、 $z - \bar{z}$ 是纯虚数 B、 $z + \bar{z}$ 是实数 C、 $z \bar{z}$ 是实数 D、 $|z - \bar{z} |\leq 2| \bar{z}|$

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16、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .若 $a = \frac{1}{2}, c = 2 cos B, cos C = c sin A$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{3}{20}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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17、已知一个圆锥型容器的底面直径与母线长相等，若容器壁和底的厚度不计，该容器内部所能容纳的最大球的体积为 $36 π$ ，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $36 π$ B、 $45 π$ C、 $54 π$ D、 $63 π$

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18、已知函数 $f (x) = sin x - \sqrt{3} cos x, f (x_{0}) = - \frac{1}{2}, x_{0} \in (0, π)$ ，则 $sin x_{0}$ 的值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5} - 1}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15} - 1}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{15} + 1}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5} + 1}{8}$

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19、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内所对应的点分别为 $(1, \sqrt{3})$ 和 $(0, 1)$ ，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$ （）

A、 $\sqrt{3} - i$ B、 $\sqrt{3} + i$ C、 $- \sqrt{3} - i$ D、 $- \sqrt{3} + i$

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20、某工厂6月份生产 $A, B, C$ 三种产品的数量比为 $5 : 4 : 3$ ，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 $n$ 的样本，若样本中 $A$ 产品的数量为600，则 $n$ 的值为（）

A、1200 B、1440 C、1800 D、2400

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