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相关试卷

1、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是单位向量，若 $(\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}) ⊥ (5 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}})$ ，则向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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2、已知 $α$ ， $β$ 是两个不同平面， $l$ ， $m$ 是两条不同直线，则（）

A、若 $l / / α$ ， $m / / α$ ，则 $l / / m$ B、若 $l / / α$ ， $l / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $l / / β$ D、若 $l ⊥ α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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3、若复数 $z = 1 + i$ ，则复数 $i z$ 的虚部为（）

A、 $1$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、 $- i$

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4、 $\cos 15 °$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

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5、已知函数 $f (x) = sin x - x cos x + a x, x \in (0, π)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2}, 1)$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = - 1$ ，判断 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上的零点个数并说明理由．

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6、已知函数 $f (x) = ln x - 2 k x$ ， $x \in (0,e]$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数．

(1)、若 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间和最大值；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为 $- 3$ ，求实数 $k$ 的值．

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7、现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？

(1)、4名男学生互不相邻；

(2)、2名老师之间恰有1名男学生和1名女学生．

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8、 $f (x) = \frac{a}{e^{x}} + \ln x + b (a \in R, b \in R)$ 的两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $x_{1} < x_{2} \leq 2 x_{1}$ ，则 $2 x_{1} + x_{2}$ 的最小值为.

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9、将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有种不同分配方法．

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10、已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (1, - 1, λ)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 2, 2, 1)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则 $λ$ 的值为．

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11、在 $(1 + x)^{2 n} + x (1 + x)^{2 n - 1} + \dots + x^{n} (1 + x)^{n}$ 的展开式中， $x^{n}$ 的系数为（）.

A、 $\frac{(2 n + 1)!}{n! n!}$ B、 $\frac{(2 n + 2)!}{n! n!}$ C、 $\frac{(2 n + 1)!}{n! (n + 1)!}$ D、 $\frac{(2 n + 2)!}{n! (n + 1)!}$

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (0) = 2$ ，若对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) > 1 - f^{'} (x)$ ，则不等式 $f (x) < 1 + e^{- x}$ 的解集为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- 1, 0)$

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13、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ．取棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点M，则 $|\vec{A M}| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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14、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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15、 ${(x - 2 y)}^{7}$ 的展开式中第3项的二项式系数是（）

A、 $C_{7}^{2}$ B、 $C_{7}^{3}$ C、 ${4C}_{7}^{2}$ D、 ${16C}_{7}^{5}$

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16、已知函数 $f (x) = ln x - x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、 $- 2$

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17、若 $\vec{a} = (2, 0, - 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1, - 2)$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(2, 0, - 3)$ B、 $(2, - 1, 1)$ C、 $(- 2, 1, - 1)$ D、 $(2, 1, - 3)$

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18、若函数 $G$ 在 $m \leq x \leq n$ ( $m < n$ )上的最大值记为 $y_{max}$ ，最小值记为 $y_{min}$ ，且满足 $y_{max} - y_{min} = 2$ ，则称函数 $G$ 是在 $m \leq x \leq n$ 上的“优质函数”.

(1)、函数① $y = 2 x - 1$ ；② $y = |x|$ ；③ $y = \frac{1}{x}$ ，其中函数_______是在 $1 \leq x \leq 2$ 上的“优质函数”；（填序号）

(2)、已知函数 $G$ ： $y = a x^{2} - 4 a x + 2 a$ （ $a \neq 0$ ）.
①函数 $G$ 是在 $2 \leq x \leq 5$ 上的“优质函数”，求 $a$ 的值；
②当 $a = 2$ 时，函数 $G$ 是在 $t \leq x \leq t + 1$ 上的“优质函数”，请直接写出 $t$ 的值；

(3)、已知函数 $G$ ： $y = a x^{2} - 4 a x + 2 a$ ( $a > 0$ )，若函数 $G$ 是在 $\frac{m}{2} \leq x \leq m + 2$ ( $m$ 为整数)上的“优质函数”，且存在整数 $k$ ，使得 $k = \frac{y_{max}}{y_{min}}$ ，求 $a$ 的值.

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19、疫情期间，某防护服厂全力生产保障供应.生产防护服的固定成本为300万元，每生产 $x$ 万件，需另投入成本 $p (x)$ 万元.当产量不大于40万件时， $p (x) = 91 x + \frac{6400}{x} - 1500$ ；当产量超过40万件时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 30 x$ .若每件防护服售价100元，且生产的防护服可全部销售完.

(1)、求防护服销售利润 $y$ （万元）关于产量 $x$ （万件）的函数关系式；

(2)、当产量为多少万件时，该防护服生产厂所获利润最大？

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20、已知 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ .

(1)、用定义证明 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上是增函数；

(2)、求该函数在区间 $[2, 5]$ 上的最大值与最小值.

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