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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x \ln x - a (x - 1)$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 上的切线方程.（其中e为自然对数的底数）

(2)、已知关于x的方程 $\frac{f (x)}{x} + a = a x + \frac{a}{x}$ 有两个不相等的正实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若 $x_{1}^{k} x_{2}$ 有最小值 $e^{e}$ ，求k的值.

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2、给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $y = f^{'} (x)$ 的导函数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的.“固点”.经研究发现所有的三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(a \neq 0)$ 都有“固点”，且该“固点”也是函数 $y = f (x)$ 的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数 $f (x) = x^{3} + (3 a - 3) x^{2} + (6 a - 9 a^{2}) x - 5 a (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，试求 $y = f (x)$ 的对称中心.

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = 2$ 时， $f (x) = m$ 有三个不相等的实数根 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，当 $|x_{1} - x_{3}|$ 取得最大值时，求 $m$ 的值.

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3、计算机是20世纪最伟大的发明之一，计算机在进行计算和信息处理时，使用的是二进制．若将一个十进制数 $n (n \in N^{*})$ 表示为 $n = a_{0} \times 2^{k} + a_{1} \times 2^{k - 1} + a_{2} \times 2^{k - 2} + \dots + a_{k} \times 2^{0}$ ，其中 $a_{0} = 1$ ， $a_{i} \in \{0, 1\} (i = 1, 2, 3, \dots, k)$ 则其二进制为 ${(a_{0} a_{1} a_{2} \dots a_{k})}_{2} (k \in N)$ ，例如：自然数1在二进制中就表示为 ${(1)}_{2}$ ， 2表示为 ${(10)}_{2}$ ， 3表示为 ${(11)}_{2}$ ， 4表示为 ${(100)}_{2}$ ， 7表示为 ${(111)}_{2}$ ．记 $f (n)$ 为 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 中0的个数，如 $f (2) = 1, f (4) = 2, f (7) = 0$ ，则 $f (127) =$ ；从1到127这些自然数的二进制表示中 $f (n) = 2$ 的自然数有个．

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意 $x \in R$ ，有 $f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $e^{x} f (x + 1) > e^{2} f (2 x - 1)$ 的解集是．

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5、下列不等式中，所有正确的是（）

A、 $4 tan \frac{1}{4} < 1$ B、 $tan (π - 2) > sin 2$ C、 $10 sin \frac{1}{10} > \frac{6}{π} sin \frac{π}{6}$ D、 $cos \frac{4}{5} < \frac{4}{5}$

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6、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域为R ， $g (x)$ 为偶函数， $g (x) = g (4 - x), f (x) = 1 - g^{'} (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $g^{'} (x)$ 关于 $(2, 0)$ 对称 B、 $g^{'} (2022) = 0$ C、 $f (x)$ 关于点 $(2, 0)$ 对称 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 2024$

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7、定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作 $a \equiv b (\mod m)$ ，比如： $35 \equiv 25 (\mod 10)$ ．已知： $n = C_{10}^{0} - C_{10}^{1} 10 + C_{10}^{2} 10^{2} - C_{10}^{3} 10^{3} + \dots + C_{10}^{10} 10^{10}$ ，满足 $n \equiv p (\mod 7)$ ，则p可以是（）

A、26 B、31 C、32 D、37

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + \cos x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (x)$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9、甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙命中目标的概率为 $\frac{1}{2}$ ，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、如图所示，在直角梯形ABCD中， $B C // A D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $B C = 2$ ， $A D = 3$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，边AD上一点 $E$ 满足 $D E = 1$ ．现将 $△ A B E$ 沿BE折起到 $△ A_{1} B E$ 的位置，使平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面BCDE，如图所示．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ B E$ ；

(2)、求四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 的体积；

(3)、求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成锐二面角的余弦值．

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11、半径为1的圆 $O$ 内接 $△ A B C$ ，且 $3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ．

(1)、求数量积 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ ， $\vec{O B} \cdot \vec{O C}$ ， $\vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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12、在 $△ A B C$ 中， $B C = \sqrt{5}, A C = 3, \sin C = 2 \sin A$ ．
（1）求 $A B$ 的值；
（2）求 $\sin (2 A - \frac{π}{4})$ 的值.

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13、函数 $f (x) = A \sin (ω x - \frac{π}{6}) + 1$ （ $A > 0, ω > 0$ ）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）设 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $f (\frac{α}{2}) = 2$ ，求 $α$ 的值

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14、已知 $α + β = 15 °$ ，则 $\frac{1 - \tan α - \tan β - \tan α \tan β}{1 + \tan α + \tan β - \tan α \tan β} =$ ．

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15、已知 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 是单位向量， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 0$ .若向量 $\overset{⃑}{c}$ 满足 $| \overset{⃑}{c} - \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b} | = 1$ ，则| $\overset{⃑}{c}$ |的最大值是.

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16、如果用半径为 $R = 2 \sqrt{3}$ 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是.

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17、已知 $m$ ， $n$ 为异面直线，直线 $l$ 与 $m$ ， $n$ 都垂直，则下列说法正确的是（）

A、若 $l ⊥$ 平面 $α$ ，则 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ B、存在平面 $α$ ，使得 $l ⊥ α$ ， $m \subset α$ ， $n ∥ α$ C、有且只有一对互相平行的平面 $α$ 和 $β$ ，其中 $m \subset α$ ， $n \subset β$ D、至多有一对互相垂直的平面 $α$ 和 $β$ ，其中 $m \subset α$ ， $n \subset β$

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18、下列四个选项中，化简正确的是（）

A、 $\cos (- 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ B、 $\cos 15^{\circ} \cos 105^{\circ} + \sin 15^{\circ} \sin 105^{\circ} = 0$ C、 $\cos (α - 35 °) \cos (25^{\circ} + α) + \sin (α - 35^{\circ}) \sin (25^{\circ} + α) = \frac{1}{2}$ D、 $\sin 14^{\circ} \cos 16^{\circ} + \sin 76^{\circ} \cos 74^{\circ} = \frac{1}{2}$

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19、已知复数z满足 $|z - 1 + i| = 3$ ，则（）

A、复数z虚部的最大值为2 B、复数z实部的取值范围是 $[- 2, 4]$ C、 $|z + 1 + i|$ 的最小值为1 D、复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限

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20、如图所示，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = C D = 1$ ， $B D = \sqrt{2}$ ， $B D ⊥ C D$ ，将四边形 $A B C D$ 沿对角线BD折成四面体 $A^{'} - B C D$ ，使平面 $A^{'} B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $A^{'} C ⊥ B D$ B、 $∠ B A^{'} C = 90^{\circ}$ C、 $C A^{'}$ 与平面 $A^{'} B D$ 所成的角为 $30^{\circ}$ D、四面体 $A^{'} - B C D$ 的体积为 $\frac{1}{3}$

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