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相关试卷

1、某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为 $\frac{1}{3}$ ，派出专识题的概率为 $\frac{2}{3}$ .已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为 $\frac{3}{5}, \frac{1}{5}$ ，且各轮答题正确与否相互独立.

(1)、求该选手在一轮答题中答对题目的概率；

(2)、记该选手在第 $n$ 轮答题结束时挑战依然未终止的概率为 $p_{n}$ ，
（i）求 $p_{3}, p_{4}$ ；
（ii）证明：存在实数 $λ$ ，使得数列 $\{p_{n + 1} - λ p_{n}\}$ 为等比数列.

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2、已知椭圆 $C$ 上的动点 $M (x, y)$ 总满足关系式 $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = 2 a (a > 1)$ ，且椭圆 $C$ 与抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有共同的焦点 $F, P$ 是椭圆 $C$ 与抛物线 $Γ$ 的一个公共点， $|P F| = \frac{5}{3}$ .

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程和椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $Γ$ 于 $M, N$ 两点，交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $|M F| \cdot |N F| = 2 |A F| \cdot |B F|$ ，求直线 $l$ 的方程.

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $\sqrt{3} c = 2 a sin C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $3 + \sqrt{3}$ ，求 $b$ .

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4、对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线 $x^{4} + y^{4} - x^{2} y^{2} - x^{2} - y^{2} = 0$ 的最小覆盖圆的半径为.

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5、设函数 $f (x) = 2 x^{3} + a x^{2} + b x$ ，若 $f (x)$ 的图象过点 $P (1, 3)$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, 0)$ 处的切线也过点 $P$ ，则 $a =$ .

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6、已知角 $θ$ 的终边过点 $P (3, 4)$ ，则 $\frac{sin θ + 2 cos θ}{sin θ - cos θ} =$ .

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7、如图，在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B$ $/ /$ $C D, A B ⊥ B C, A B = 2 C D = 2, B C = C C_{1} = \sqrt{2}$ ， $M$ 是 $C C_{1}$ 中点.过 $A A_{1}$ 作与平面 $B D D_{1} B_{1}$ 平行的平面 $α$ ，若 $α \cap$ 平面 $A_{1} B D = l_{1}, α \cap$ 平面 $A_{1} B C_{1} = l_{2}$ ，则（）

A、 $A_{1}, B, M, D_{1}$ 四点共面 B、棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 没有外接球 C、直线 $l_{1}, l_{2}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ D、四面体 $A_{1} B C_{1} D$ 与四面体 $A B_{1} C D_{1}$ 的公共部分的体积为 $\frac{1}{2}$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{n - 2}{2 n - 15}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、数列 ${\frac{1}{2 a_{n} - 1}}$ 为等差数列 B、 $\exists n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n + 1} > a_{n}$ C、当 $n = 8$ 时， $S_{n}$ 取得最小值 D、数列 $\{a_{n} - a_{n + 1}\}$ 的最大项的值为 $\frac{11}{3}$

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9、已知函数 $f (x) = sin(2 x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有2个零点

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10、若函数 $f (x) = e^{a x} ln (x + 1)$ 有极值，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (e, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (e^{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{1}{e}, + \infty)$

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，若 $F$ 关于直线 $y = 3 x$ 的对称点 $P$ 在 $C$ 上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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12、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度 $I_{0}$ 为标准，天体的星等 $m$ 与亮度 $I$ 满足 $m = - \frac{5}{2} lg \frac{I}{I_{0}}$ ，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（）

A、 $10^{\frac{5}{2}}$ B、 $10^{- \frac{5}{2}}$ C、 $10^{\frac{12}{25}}$ D、 $10^{- \frac{12}{25}}$

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13、袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个白球.从袋中不放回地依次随机取出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（）

A、 $\frac{13}{25}$ B、 $\frac{12}{25}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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14、已知两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $\vec{b}$ B、 $- \vec{b}$ C、 $2 \vec{a}$ D、 $- 2 \vec{a}$

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15、居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI），是度量一定时期内居民消费商品和服务价格水平总体变动情况的相对数，综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋势和变动程度.下图是2024年11月9日国家统计局公布的2024年10月各类商品及服务价格同比和环比涨跌幅情况（同比 $= \frac{本期数 - 去年同期数}{去年同期数} \times 100 %$ ，环比 $= \frac{本期数 - 上期数}{上期数} \times 100 %$ ），下列结论正确的是（）

A、2024年10月份食品烟酒类价格低于2023年10月份食品烟酒类价格 B、2024年10月份教育文化娱乐类价格低于2024年9月份教育文化娱乐类价格 C、2024年9月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格 D、2024年9月份居住类价格高于2023年10月份居住类价格

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16、已知集合 $A = {x | x^{3} < 1}, B = {x | 2^{x} > \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {x | x < - 1}$ B、 $A \cap B = {x | - 1 < x < 1}$ C、 $A \cup B = {x | x < - 1}$ D、 $A \cup B = {x | x < 1}$

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17、若 $(1 - i) z = i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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18、由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆 $C_{1}$ 的“特征三角形”为 $△_{1}$ ，椭圆 $C_{2}$ 的“特征三角形”为 $△_{2}$ ，若 $△_{1} ∽ △_{2}$ ，则称椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ “相似”，并将 $△_{1}$ 与 $△_{2}$ 的相似比称为椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的相似比.已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相似.

(1)、求椭圆 $C_{2}$ 的离心率；

(2)、若椭圆 $C_{1}$ 与椭圆 $C_{2}$ 的相似比为 $λ (λ > 0)$ ，当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，求椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的方程；

(3)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，设椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右顶点为 $B$ ，且椭圆 $C_{2}$ 过点 $A$ 作两条斜率为 $k_{1}, k_{2}$ 的直线分别交椭圆 $C_{2}$ 于 $M, N$ （异于 $A, B$ ）两点，设 $M, N$ 在 $x$ 轴的上方，过点 $B$ 作直线 $A N$ 的平行线交椭圆 $C_{2}$ 于点 $N_{1}$ ，若直线 $M N_{1}$ 过椭圆 $C_{2}$ 的左焦点 $F$ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，公差 $d \neq 0, a_{2} = 2$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列；数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in N^{*}, 2^{k} - 1 < b_{k} < 2^{k} + 1$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式，猜想数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式并证明；

(2)、求数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、若 $c_{n} = \frac{a_{n + 2}}{a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot b_{n + 1}}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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20、已知函数 $f (x) = ln x - 2 k x, x \in (0, e]$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、若 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间和最大值；

(2)、是否存在实数 $k$ ，使得 $f (x)$ 的最大值为 $- 3$ ？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由.

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