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相关试卷

1、若 $tan θ =−2$ ，则 $\frac{1−sin2 θ}{\sqrt{2} sin θ ⋅sin (θ − \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $− \frac{1}{2}$ C、 $− \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2、已知向量 $\vec{a} = (1, t)$ ， $\vec{b} = (3, 9)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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3、已知 ${(x + b)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，若 $a_{3} = 40$ ，则 $b =$ .

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4、下列选项正确的是（）

A、 $(sin 10^{\circ})^{'} = cos 10^{\circ}$ B、 $(lg x)^{'} = \frac{1}{x}$ C、 $[(2 x + 1) (2 x - 1)]^{'} = 8 x$ D、 $(e^{- x})^{'} = e^{- x}$

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5、折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：如图，用圆形纸片，按如下步骤折纸．
步骤1：设圆心是 $F$ ，在圆内不是圆心处取一点，标记为 $E$ ；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点 $E$ ，此时圆周上与点 $E$ 重合的点标记为 $G$ ；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时 $G F$ 与折痕交于点 $P$ ；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条折痕和越来越多的交点 $P$ ．
现取半径为4的圆形纸片，定点 $E$ 到圆心 $F$ 的距离为2，按上述方法折纸．以线段 $E F$ 的中点 $O$ 为原点，线段 $E F$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系 $x O y$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、已知点 $M (0, \sqrt{3})$ ，点A，B是曲线 $Γ$ 上两个不同的动点（不在 $y$ 轴上），直线 $M A, M B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 1$ ，证明：直线 $A B$ 过定点．

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6、已知函数 $f (x) = 2 x \ln x + a x^{2} - x$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 B、当 $a = 2$ 时， $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{8}{5}$ C、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上为减函数，则 $a \leq - e^{- \frac{3}{2}}$ D、当 $a < 0$ 时，若函数 $F (x) = f (x) + a x$ 有且只有一个零点，则 $a \in (- \frac{2}{5}, - \frac{1}{3})$

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7、设平面内两个非零向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 的夹角为 $θ$ ，定义一种运算“ $\otimes$ ”： $\vec{m} \otimes \vec{n} = | \vec{m} | | \vec{n} | \sin θ$ ．试求解下列问题：

(1)、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2, 1), | \vec{b} | = 2, \vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的值；

(2)、①若 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，用坐标 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ 表示 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ ；
②在平面直角坐标系中，已知点 $A (2, 1), B (- 1, 2), C (0, 4)$ ，求 $\vec{A B} \otimes \vec{B C}$ 的值；

(3)、已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{\cos α}, \frac{2}{\sin α}), \vec{b} = (\frac{2}{\sin α}, - \frac{1}{\cos α}), α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的最小值．

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8、如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角 $∠ M O N = \frac{π}{4}$ ，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形 $A B C D$ (四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为 $△ D A M$ ，记 $∠ M O D = α .$

(1)、当角 $α$ 取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.

(2)、若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元 $($ 不计桥的宽度 $)$ ；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围.

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9、已知在 $△ A B C$ 中， $C = 2 A$ ， $cos A = \frac{3}{4}$ ， $A B = \frac{3}{2} B C$ 且 $2 \vec{B A} \cdot \vec{C B} = - 27$ ．

(1)、求 $cos B$ 的值；

(2)、求 $A C$ 的长度．

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10、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (m, - 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, 2)$ .

(1)、若 $(\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) ⊥ 2 \overset{⃑}{b}$ ，求 $|\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}|$ ；

(2)、若向量 $\overset{⃑}{c} = (- 2, 1)$ ， $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{c}$ ，求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}$ 夹角的余弦值.

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11、若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c} = - 1$ ，则 $|\vec{b} + \vec{c}|$ 的最小值为．

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12、关于平面向量有下列四个命题：
①若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ ；
②已知 $\vec{a} = (k, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 6)$ .若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $k = - 1$ .
③非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为30°.
④ $(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}) \cdot (\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} - \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}) = 0$ .
其中正确的命题为.

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13、已知 $α$ 是第一象限角，且 $cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{5}{13}$ ，则 $tan (α - \frac{π}{3}) =$ .

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14、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为 $H$ 米，下列说法正确的是（）

A、 $H$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $H = 25 \sin (\frac{π}{12} t - \frac{π}{6}) + 35$ B、开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C、开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D、开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）

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15、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (2 m, n - 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 5$ B、当 $\vec{b} // \vec{c}$ 时， $4 m + n = 1$ C、当 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ 时， $m + 2 n = 2$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

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16、我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 $\vec{B C} = \vec{a}, \vec{B A} = \vec{b}, \vec{B E} = 3 \vec{E F}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{12}{25} \vec{a} - \frac{16}{25} \vec{b}$ B、 $\frac{16}{25} \vec{a} + \frac{12}{25} \vec{b}$ C、 $\frac{12}{25} \vec{a} + \frac{9}{25} \vec{b}$ D、 $\frac{9}{25} \vec{a} - \frac{12}{25} \vec{b}$

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17、互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点 $P$ 作两坐标轴的平行线，其在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距 $a, b$ 分别作为点 $P$ 的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标，记 $P (a, b)$ .若斜坐标系中， $x$ 轴正方向和 $y$ 轴正方向的夹角为 $θ$ ，则该坐标系中 $M (x_{1}, y_{1})$ 和 $N (x_{2}, y_{2})$ 两点间的距离为（）

A、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ}$ B、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} - 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ}$ C、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + 2 |(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2})| cos θ}$ D、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} - 2 |(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2})| cos θ}$

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (- 2, 4)$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $μ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} - μ \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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19、已知等边三角形 $A B C$ 的边长是 $2$ ， $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{C D} =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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20、已知 $\vec{A B} = (- 1, \cos α)$ ， $\vec{B C} = (2, 0)$ ， $\vec{C D} = (2, 2 \sin α)$ ，若 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，则 $\tan α =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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