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相关试卷

1、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C = 4, C D = 2, B C ⊥ C D$ ，点 $A$ 在平面 $B C D$ 上的射影为点 $H$ ，直线 $A B, A C$ 与平面 $B C D$ 所成的角分别为 $60^{\circ}, 30^{\circ}$ ，则（）

A、点 $H$ 的轨迹长度为 $3 π$ B、 $cos ∠ H C D$ 的取值范围是 $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ C、三棱锥 $A - B C D$ 的体积的最小值是 $\sqrt{3}$ D、当 $A H$ 最大时，三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的表面积为 $68 π$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的单调递减区间是 $[1, + \infty)$ B、若 $m < \frac{1}{e}$ ，则方程 $f (x) = m$ 有两个不等的实根 C、若点 $P$ 是曲线 $y = f (x)$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $y = x + 2$ 距离的最小值为 $\sqrt{2}$ D、若过点 $A (0, a)$ 可以作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，则 $0 < a < \frac{4}{e^{2}}$

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3、下列说法正确的是（）

A、样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n} (n \geq 5)$ ，去掉其中的一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 B、数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的方差为0，则所有的 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 都相等 C、若随机变量 $X \sim N (0, 2^{2}), Y \sim N (0, 3^{2})$ ，则 $P (|X| \leq 3) > P (|Y| \leq 3)$ D、在线性回归模型中，变量 $x$ 与 $y$ 的一组样本数据对应的点均在直线 $y = 2 x + 1$ 上，则决定系数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 1$

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4、若实数 $x, y$ 满足 ${log}_{2} x + {log}_{y} 3 = {log}_{2} y + {log}_{x} 2$ ，则下列结论不可能成立的是（）

A、 $1 < x < y^{2}$ B、 $1 < y < x^{2}$ C、 $0 < y^{2} < x < 1$ D、 $0 < y < x^{2} < 1$

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5、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $T$ ，若 $f (T) = \frac{1}{2}$ ，则 $cos (x + 3 φ) + cos (2 x - 6 φ)$ 的最小值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{9}{8}$ C、0 D、 $\frac{9}{8}$

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6、已知椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 有相同的焦点 $F_{1}, F_{2}, M$ 是它们的一个公共点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，若 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ ，则 $C_{2}$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{39}}{6}$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = a, a_{2} = 2 - a, a_{n + 2} = 2 a_{n}$ ，则 $S_{2 n} =$ （）

A、 $2^{n + 1} - 2$ B、 $a (2^{n + 1} - 2)$ C、 $2^{2 n} - 2$ D、 $a (2^{2 n} - 2)$

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8、为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
每户每年天然气用量
天然气价格
不超过 $300 m^{3}$
2.98元 $/ m^{3}$
超过 $300 m^{3}$ 但不超过 $480 m^{3}$ 的部分
3.60元 $/ m^{3}$
超过 $480 m^{3}$ 的部分
4.50元 $/ m^{3}$
若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（）

A、 $610 m^{3}$ B、 $600 m^{3}$ C、 $558.7 m^{3}$ D、 $462.7 m^{3}$

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9、已知正三棱台的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{12}$ ，其上下底面的边长分别为1和2，则这个正三棱台的高为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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10、已知集合 $A = {x ∣ x < 4}, B = {x ∣ 0 < x < 5}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(0, 4)$ D、 $(- \infty, 5)$

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B // D C$ ， $A B = \frac{1}{2} C D = A D = 1$ ， $M$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P C = \sqrt{5}$ ， $P D = 1$ ，在线段 $P A$ 上是否存在点 $Q$ ，使得点 $Q$ 到平面 $B D M$ 的距离是 $\frac{2 \sqrt{6}}{9}$ ？若存在，求出 $P Q$ 的值；若不存在，说明理由.

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12、已知实数 $x, y, z$ 满足 $e^{x} - e^{2} = e (x - 2) \neq 0, e^{y} - e^{e} = e (y - e) \neq 0$ ， $e^{z} - e^{3} = e (z - 3) \neq 0$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，则 $x, y, z$ 的大小关系是（）

A、 $x < y < z$ B、 $y < x < z$ C、 $z < x < y$ D、 $z < y < x$

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13、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (2 x - 1)$ 为偶函数，则下列一定成立的是（）

A、 $f (- 3) = 0$ B、 $f (0) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (4) = 0$

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14、已知集合 $A = {- 4, 0, 1, 2, 8}, B = \{x ∣ x^{3} = x\},$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${1, 2, 8}$ C、 ${2, 8}$ D、 ${0, 1}$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n} - a_{n + 1} = 2^{n} a_{n} a_{n + 1}$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $\frac{2}{2^{n - 1} + 1}$ B、 $\frac{1}{2^{n - 1}}$ C、 $\frac{2}{2^{n} + 1}$ D、 $\frac{1}{2^{n} - 1}$

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16、已知直线 $l$ 经过点 $P (2, 1)$ 、 $Q (4, 5)$ 两点，直线 $m$ 的倾斜角是直线 $l$ 的倾斜角的2倍，则直线 $m$ 的斜率为．

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D = C D = D P = 1$ ， $A B = B C = B P = \sqrt{3}$ ， $D P ⊥ A C$ ， $D P ⊥ P B$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、过直线 $C D$ 与线段 $P B$ 的中点E的平面 $α$ 与线段 $P A$ 交于点F.
（i）试确定F点位置；
（ii）若H点为线段 $E F$ 上一动点，求直线 $A H$ 与平面 $B C P$ 所成角正弦值的最小值.

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18、已知函数 $f (x) = x (1 + \ln x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的图像在点 $(1, 1)$ 处的切线方程；

(2)、若 $k \in Z$ ，且 $k (x - 1) < f (x)$ 对任意 $x > 1$ 恒成立，求 $k$ 的最大值.

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19、如图， $E A ⊥$ 平面ABCD， $E A ∥ F C$ ， $A C = E A = 2 F C = 2$ ，四边形ABCD为菱形.

(1)、证明： $F A ⊥$ 平面EBD；

(2)、若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ ，求三棱锥 $E - B D F$ 的体积.

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20、定义“规范01数列” $\{a_{n}\}$ 如下： $\{a_{n}\}$ 共有 $2 m$ 项，其中 $m$ 项为0， $m$ 项为1，且对任意 $k \leq 2 m$ ， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 中0的个数不少于1的个数.若 $m = 4$ ，则不同的“规范01数列”共有个．

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每户每年天然气用量	天然气价格
不超过 $300 m^{3}$	2.98元 $/ m^{3}$
超过 $300 m^{3}$ 但不超过 $480 m^{3}$ 的部分	3.60元 $/ m^{3}$
超过 $480 m^{3}$ 的部分	4.50元 $/ m^{3}$