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相关试卷

1、棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A_{1} D_{1}} = 2 \vec{A_{1} M}$ ， $\vec{D_{1} N} = \vec{N C_{1}}$ ， $P$ 为平面 $A C B_{1}$ 上的一动点（包含边界），则 $△ M P N$ 周长的最小值为（）（附：平面的截距式方程为： $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ ，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为平面在 $x$ ， $y$ ， $z$ 轴上的截距）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{2} + \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{14} + 1$ D、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{14}}{2}$

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2、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{k}^{2} - a_{k - 1} - a_{k + 1} = 0$ ， $S_{2 k - 1} = 22$ ，则 $k =$ （）

A、12 B、8 C、6 D、3

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3、已知 $x = 0$ 是函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + (a^{2} + a) x - 2$ 的极小值点，则 $f (a + 1) =$ （）

A、 $- 2$ B、0 C、 $- 1$ D、 $- 1$ 或 $- 2$

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4、若函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x}$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的最大值为（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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5、已知抛物线 $C$ ： $4 x^{2} + m y = 0$ 恰好经过圆 $M$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 的圆心，则 $C$ 的准线方程为（）

A、 $y = \frac{1}{8}$ B、 $y = - \frac{1}{8}$ C、 $x = \frac{1}{8}$ D、 $x = - \frac{1}{8}$

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - f^{'} (1) x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、0 B、1 C、 $\frac{e}{2}$ D、 $\frac{e}{4}$

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7、已知首项为1的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n}{n + 2}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8、曲线 $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ 在点 $(0, - 1)$ 处的切线斜率为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9、如图，在 $△ A O B$ 中， $\overset{⃑}{O C} = \frac{1}{4} \overset{⃑}{O A}$ ， $\overset{⃑}{O D} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{O B}$ ， $A D$ 与 $B C$ 相交于点M，设 $\overset{⃑}{O A} = \vec{a}$ ， $\overset{⃑}{O B} = \vec{b}$ ，
（1）试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\overset{⃑}{O M}$ ：
（2）在线段 $A C$ 上取一点E，在 $B D$ 上取一点F，使得 $E F$ 过点M，设 $\overset{⃑}{O E} = λ \overset{⃑}{O A}$ ， $\overset{⃑}{O F} = μ \overset{⃑}{O B}$ ，求证： $\frac{1}{7 λ} + \frac{3}{7 μ} = 1$ ．

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10、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + B$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ )的部分图象如图所示.
（1）求 $f (x)$ 的解析式和对称中心坐标；
（2）将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x)$ 在 $x \in [0, \frac{7 π}{6}]$ 上的最值及对应的 $x$ 的值.

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11、（1）已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (m + 1, m - 1)$ ，且 $sin α = \frac{2 m - 2}{3}$ ，求实数 $m$ 的值；
（2）若 $\frac{2 sin (π - β) + 3 sin (\frac{3 π}{2} - β)}{cos (\frac{5 π}{2} - β) + 2 cos (- β)} = \frac{3}{5}$ ，求 $sin β cos β - {sin}^{2} β$ 的值.

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12、（1）求值： $tan 20^{\circ} + tan 40^{\circ} + \sqrt{3} tan 20^{\circ} \cdot tan 40^{\circ}$ ；
（2）已知 $α, β$ 都是锐角， $sin α = \frac{3}{5}, cos (α + β) = \frac{5}{13}$ ，求 $sin (2 α + β)$ 的值.

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13、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ，

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、当向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 垂直时，求实数 $k$ 的值.

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14、若点 $M$ 是 $Δ A B C$ 所在平面内的一点，且满足 $5 \overset{⇀}{A M} = \overset{⇀}{A B} + 3 \overset{⇀}{A C}$ ，则 $Δ A B M$ 与 $Δ A B C$ 的面积比为．

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15、如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 $y = 4 sin (\frac{π}{6} x + φ) + k$ ，据此图象可知，这段时间水深（单位： $m$ ）的最小值为.

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16、已知 $\vec{A B} = (1, 3), A (- 1, 4)$ ，则点 $B$ 的坐标是.

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17、已知函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象与 $y$ 轴交于点 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，与 $x$ 轴的一个交点为 $(1, 0)$ ，如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为6 C、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{11}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2}, 2 π]$ 上单调递减

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18、下列表达式中，正确的是（）

A、 $cos \frac{π}{12} cos \frac{π}{6} - sin \frac{π}{12} sin \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3} sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{6})$ C、 $\frac{1 - tan 15^{\circ}}{1 + tan 15^{\circ}} = \sqrt{3}$ D、 ${cos}^{4} \frac{π}{8} - {sin}^{4} \frac{π}{8} = \frac{1}{2}$

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19、下列说法错误的是（）

A、 $|\vec{A B}| = |\vec{B A}|$ B、单位向量的方向相同或相反 C、零向量没有大小，没有方向 D、平面内的单位向量是唯一存在的

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20、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ ，若 $a = tan 171^{\circ}, b = sin 188^{\circ}, c = sin 365^{\circ}$ ，则（）

A、 $f (c) < f (b) < f (a)$ B、 $f (b) < f (a) < f (c)$ C、 $f (b) < f (c) < f (a)$ D、 $f (a) < f (b) < f (c)$

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