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相关试卷

1、已知圆 $C :$ $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 5 = 0$ ，点 $P (- 2, - 1)$ ．

(1)、过点 $P$ 作直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $|A B| = 4$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若圆 $M$ 经过点 $P$ ，且与圆 $C$ 相切于点 $Q (0, 1)$ ，求圆 $M$ 的方程．

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2、某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为．

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3、已知抛物线C： $y^{2} = 2 x$ 的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点， $A F$ 的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在 $A B$ 的两侧）.若四边形 $A D F E$ 为菱形，则 $|A B| =$

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4、设函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处存在导数为 $3$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{3 Δ x} =$

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5、如图，已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，过抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交 $C_{1}$ 于A、B两点，连接AB， $△ O M N$ 与 $△ O A B$ 的面积分别记为 $S_{△ O M N}$ 、 $S_{△ O A B}$ ，则在下列结论中正确的为（）

A、若记直线NO，MO的斜率分别为 $k_{1}, k_{2},$ 则 $k_{1} k_{2}$ 的大小是定值 $- \frac{1}{4}$ B、 $△ O A B$ 的面积 $S_{△ O A B}$ =2 C、设 $λ = \frac{S_{△ O M N}}{S_{△ O A B}},$ 则 $λ \geq 2$ D、 $|O A|^{2} + |O B|^{2}$ 为定值5

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6、如图，某工艺品是一个多面体 $P A B C D, A C = B D = 4 \sqrt{2} cm, A B = B C = C D = D A = 2 \sqrt{13} cm$ ，点 $E \in A D, F \in B C, P A, P B, P C$ 两两互相垂直，且 $P, D$ 位于平面 $A B C$ 的异侧，则下列命题正确的有（）

A、异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{9}{13}$ B、当点 $E$ 为 $A D$ 的中点时，线段 $E F$ 的最小值为 $4 cm$ C、工艺品 $P A B C D$ 的体积为 $48 {cm}^{3}$ D、工艺品 $P A B C D$ 可以完全内置于表面积为 $64 {πcm}^{2}$ 的球内

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7、已知圆 $A : x^{2} + y^{2} - 2 y - 3 = 0$ ，圆 $B : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $P (2, - 1)$ 在圆 $A$ 内 B、圆 $A$ 上的点到直线 $3 x - 4 y + 19 = 0$ 的最小距离为1 C、圆 $A$ 和圆 $B$ 的公切线长为2 D、圆 $A$ 和圆 $B$ 的公共弦所在的直线方程为 $2 x - y - 3 = 0$

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8、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0, b > 0$ )的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为双曲线上的一点， $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，且 $\vec{I F_{1}} + 2 \vec{I F_{2}} = 2 \vec{P I}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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9、我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，求出了精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求 $\ln 1.01$ ，我们先求得 $y = \ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ ，再把 $x = 1.01$ 代入切线方程，即得 $\ln 1.01 \approx 0.01$ ，类比上述方式，则 $\sqrt[2000]{e} \approx$ （）

A、1.0005 B、1.0001 C、1.005 D、1.001

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 有最小值，且 $- 1 < \frac{a_{2022}}{a_{2023}} < 0$ ，则使 $S_{n} > 0$ 成立的正整数 $n$ 的最小值为（）

A、2022 B、2023 C、4043 D、4044

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11、战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一条光线从点 $(2, 3)$ 射出，经 $y$ 轴反射后与圆 $x^{2} - 6 x + y^{2} + 4 y + 12 = 0$ 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

A、 $- \frac{4}{3}$ 或 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{5}{6}$

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = 2 D C$ ， E为 $P C$ 上一点，且 $P C = 4 E C$ ，则异面直线 $A C$ 与 $B E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{42}}{14}$ B、 $\frac{\sqrt{42}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ D、 $- \frac{\sqrt{21}}{14}$

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13、已知直线 $l_{1} : a x + 2 y + 4 = 0$ ，直线 $l_{2} : x + (a + 1) y + 4 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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14、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底， $\vec{m} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} - \vec{c}$ ， $\vec{n} = x (\vec{a} - \vec{b}) + y (\vec{b} - \vec{c}) + 4 (\vec{a} + \vec{c})$ ，若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $0$ B、 $- 6$ C、6 D、5

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15、已知 $P$ 是抛物线 $C : x^{2} = 8 y$ 上的一点， $F$ 为 $C$ 的焦点，若 $|P F| = 11$ ，则 $P$ 的纵坐标为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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16、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， O为 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $O A ⊥ C D$ ；

(2)、若 $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，点E在棱 $A D$ 上， $D E = 2 E A, O A = 1$ ，求二面角 $E - B C - D$ 的大小．

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设A，B两点为椭圆C的左、右顶点，点P（异于左、右顶点）为椭圆C上一动点，直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值．

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18、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，当 $l ⊥ x$ 轴时， $|A B| = 12$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、当线段 $A B$ 的中点的纵坐标为 $3$ 时，求直线 $l$ 的方程．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = - 25, 2 a_{3} + a_{5} = - 50$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ .

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20、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ ，则两圆的位置关系为．

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