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相关试卷

1、为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：

	游戏一	游戏二	游戏三
箱子中球的颜色和数量	大小质地完全相同的红球3个，白球2个（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）
取球规则	取出一个球	有放回地依次取出两个球	不放回地依次取出两个球
获胜规则	取到白球获胜	取到两个白球获胜	编号之和为 $m$ 获胜

(1)、分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；

(2)、一名同学先玩了游戏一，试问

m

为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．

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2、如图，在平面四边形ABCD中， $A B = A D = 4$ ， $B C = 6$ ．

(1)、若 $A = \frac{2 π}{3}$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，求 $\sin ∠ B D C$ 的值；

(2)、若 $C D = 2$ ， $\cos A = 3 \cos C$ ，求四边形ABCD的面积．

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3、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1 ， B C = \sqrt{2} ， M$ 是线段 $A D$ 上（包括端点）的一动点，如图2，将 $△ A B M$ 沿着 $B M$ 折起，使点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，满足点 $P \notin$ 平面 $B C D M$ .

(1)、如图2，当 $B C = 2 M D$ 时，点 $N$ 是线段 $P C$ 上点的， $D N / /$ 平面 $P B M$ ，求 $\frac{P N}{P C}$ 的值；

(2)、如图2，若点 $P$ 在平面 $B C D M$ 内的射影 $E$ 落在线段 $B C$ 上.
①是否存在点 $M$ ，使得 $B P ⊥$ 平面 $P C M$ ，若存在，求 $P M$ 的长；若不存在，请说明理由；
②当三棱锥 $E - P B M$ 的体积最大值时，求点 $E$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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4、在 $3$ 世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”. 这可视为中国古代极限观念的佳作. 割圆术可以视为将一个圆内按正 $n$ 边形等分成 $n$ 个等腰三角形（如图所示），当 $n$ 越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积. 运用割圆术的思想，可得到 $\sin 6 °$ 的近似值为（ $π$ 取近似值 $3.14$ ）（）

A、 $0.314$ B、 $0.157$ C、 $0.105$ D、 $0.052$

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5、某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 $\frac{1}{3}$ ，则至少经过次过滤才能达到市场要求．（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ， $\lg 3 \approx 0.477$ ）

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6、若命题“ $\exists a \in [1, 3]$ ， $a x^{2} + (a - 2) x - 2 > 0$ ”是假命题，则 $x$ 不能等于（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $\frac{2}{3}$

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7、四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ∥ D C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $C D = A D = \frac{1}{2} A B$ ， $∠ P A D = 45 °$ ， $E$ 是 $P A$ 的中点， $G$ 在线段 $A B$ 上，且满足 $C G ⊥ B D$ ．

(1)、求证： $D E ∥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求平面 $G P C$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

(3)、在线段 $P A$ 上是否存在点 $H$ ，使得 $G H$ 与平面 $G P C$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若存在，求出 $A H$ 的长；若不存在，请说明理由．

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8、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是 $△ A B C$ 的外心， $a \cos (C - \frac{π}{3}) = \frac{\overset{⃑}{A O} \cdot \overset{⃑}{A B}}{| \overset{⃑}{A B} |} + \frac{\overset{⃑}{A O} \cdot \overset{⃑}{A C}}{| \overset{⃑}{A C} |}$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的周长为 $4 \sqrt{3} π$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围，

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9、某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75.85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、估计这100名候选者面试成绩的平均数和 $50 %$ 分位数（精确到0.1）；

(3)、在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率.

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10、已知单位向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .
（1）若 $k \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a}$ 垂直，求 $k$ 的值；
（2）若向量 $\overset{⃑}{c}$ 满足 $(\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{c}) \cdot (\overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{c}) = 0$ ，求 $|2 \overset{⃑}{c}|$ 的最大值.

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11、如图，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A B = 4$ ， $D$ 是边 $A C$ 上一动点（不包括端点）.将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使得二面角 $A_{1} - B D - C$ 为直二面角，则三棱锥 $A_{1} - B C D$ 的外接球体积的取值范围是.

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12、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E、F分别是棱BC， $C C_{1}$ 的中点，P是侧面四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 内(不含边界)一点，若 $A_{1} P / /$ 平面AEF，则线段 $A_{1} P$ 长度的取值范围是.

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13、为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本平均数为，方差为.（精确到0.1）

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14、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点E，F，G，M分别是 $B C$ ， $A A_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点．则下列说法正确的是（）

A、直线 $G F$ ， $E C_{1}$ 是异面直线 B、直线 $E G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $2 \sqrt{2}$ C、平面 $D M C_{1}$ 截正方体所得截面的面积为18 D、三棱锥 $D_{1} - A M C_{1}$ 的体积为 $\frac{16}{3}$

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15、如图，在平面四边形ABCD中， $A B ⊥ A C$ ， $A C = \sqrt{2} A B$ ， $A D = 3$ ， $B D = 2 \sqrt{6}$ ，则CD的值可能为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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16、下列说法正确的是（）

A、 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 的第60百分位数是6 B、已知一组数据 $2, 3, 5, x, 8$ 的平均数为5，则这组数据的方差是5.2 C、用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D、若 $x_{1}, x_{2}, \dots \dots, x_{10}$ 的标准差为2，则 $3 x_{1} + 1, 3 x_{2} + 1 \dots \dots 3 x_{10} + 1$ 的标准差是6

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17、已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD， $△ P A D$ 为正三角形，AB＝2AD＝4，则球O的表面积为（）

A、 $\frac{32}{3}$ π B、32π C、64π D、 $\frac{64}{3}$ π

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18、如图，棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A B_{1}$ 的中点， $M$ 、 $N$ 分别为体对角线 $A C_{1}$ 和棱 $B_{1} C_{1}$ 上任意一点，则 $2 P M + \sqrt{2} M N$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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19、甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为 $\frac{1}{2}$ ，则丙最终获胜的概率为（）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{7}{16}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{8}$

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20、如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 $O$ ， $P$ 为圆 $O$ 上任一点，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $2 x + 2 y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、2 C、 $\frac{4}{3}$ D、1

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