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相关试卷

1、据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ，通过甲公司的测试后选择签约的概率为 $\frac{3}{4}$ ，通过乙公司的测试后选择签约的概率为 $\frac{3}{5}$ ，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．

(1)、求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；

(2)、设小王获得的年薪为 $X$ （单位：万元），求 $X$ 的分布列及其数学期望．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形， $P A = A B = 2$ ， $∠ B A D = 60^{°}$ .

(1)、求证：直线 $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若点 $M$ 为线段 $P C$ 的中点，求二面角 $C - M B - A$ 的正弦值.

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d > 0, a_{2}$ 与 $a_{8}$ 的等差中项为5，且 $a_{4} a_{6} = 16$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \{\begin{matrix} a_{n} ， n 为奇数 \\ \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}} ， n 为偶数 \end{matrix}$ ，求数列{b_n}的前20项和T_20.

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4、已知函数 $f (x) = 2^{[\sin x]} + 3^{[\cos x]}$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.如： $[1] = 1, [0.5] = 0, [- 0.5] = - 1$ ，以下三个结论：
① $f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4}{3}$ ；
②集合 $\{y \in R |y = f (x), x \in R\}$ 的元素个数为9；
③ $f (x) > x + a$ 对任意 $x \in [0, 2 π]$ 都成立，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, \frac{3}{2} - 2 π]$ .
其中所有正确结论的序号是.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} + a_{n} = 3 n + 2$ ，则其前9项和 $S_{9} =$ .

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6、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为双曲线 $C$ 右支上一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心为 $I (4 ， 1)$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{9}{40}$ B、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心为 $I (4 ， 1) ， △ P F_{1} F_{2}$ 的外接圆半径为 $\frac{65}{12}$ C、若 $k_{P F_{2}} = - \frac{3}{a}$ 且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $e = \sqrt{5}$ D、若 $k_{P F_{2}} = - \frac{3}{a}$ 且 $e \leq \sqrt{2}$ ，则 $|P F_{1}| \geq 5 |P F_{2}|$

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7、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$ ，直线 $l : m x + y + 2 m + 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若圆 $C$ 关于直线 $l$ 对称，则 $m = \frac{1}{3}$ B、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于M，N两点，则 $|M N|$ 的最小值为 $4 \sqrt{6}$ C、若 $P (6, 0)$ ，动点 $Q$ 在圆 $C$ 上，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的最大值为30 D、若过直线 $x + 2 y - 9 = 0$ 上任意一点 $E$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $F$ ，则 $|E F|$ 的最小值为 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

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8、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ (其中 $A > 0 ， ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2}$ )的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $ω = 4$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{24}, \frac{π}{6}]$ 上的值域为 $[- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$

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9、已知点 $P \in \{(x, y) | |2 y| \leq |\frac{2 y}{x}| \leq |\ln x|\}$ ，则点 $P$ 到直线 $x - y - 1 = 0$ 的最大距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} e^{- 3}}{4} + \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} e^{- 3}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} e^{- 3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} e^{- 3}}{4} + 1$

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10、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C,$ $∠ A B C = 90^{°}, A A_{1} = A_{1} B_{1} = B_{1} C_{1} = 1, A B = 2$ ，则 $A C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11、已知 $\sin (α - β) = \frac{3}{5}, \frac{1}{\tan α} - \frac{1}{\tan β} = 2$ ，则 $\sin α \sin β =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{10}$

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12、已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点， $A$ 为 $E$ 上的一点， $A F$ 垂直于 $y$ 轴， $B$ 为 $y$ 轴上一点，且 $∠ B A O = 90^{°}$ ，若 $|F B| = 4 \sqrt{3}$ ，则 $p =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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13、近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：

喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
初中生
160
40
高中生
140
60
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (χ^{2} \geq k)$
0.10
0.05
0.01
$k$
2.706
3.841
6.635
以下结论中错误的是（）

A、有 $95 %$ 的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 B、没有 $99 %$ 的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 C、在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 D、在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关

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14、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = \sqrt{3}$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (3 \vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、6 B、10 C、15 D、21

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15、已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 $A \cap ∁_{U} B$ B、 $A \cup ∁_{U} B$ C、 $B \cap ∁_{U} A$ D、 $B \cup ∁_{U} A$

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16、在复平面内，复数 $i^{3} (1 + i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、已知函数 $f (x) = \frac{e ^{x - 1}}{x} + a ln x + \frac{a}{x}$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、写出 $f (x)$ 的零点个数（直接写出结果）．

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18、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线的斜率为1，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线方程；

(2)、定义：若 $\forall x \in [a, b]$ ，均有 $f (x) \leq g (x)$ ，则称函数 $g (x)$ 为函数 $f (x)$ 的控制函数．
① $\forall x \in [0, 1]$ ，试问 $g (x) = x$ 是否为函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x$ 的“控制函数”？并说明理由；
② $\forall x \in [0, 3]$ ，若 $g (x) = x + m$ 为函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x$ 的“控制函数”，求实数 $m$ 的取值范围．

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19、某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：
销售量
销售周期个数
市场
3吨
4吨
5吨
甲
3
4
3
乙
2
5
3

(1)、从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；

(2)、以市场销售量的频率代替销售量的概率．设 $X$ （单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量 $X$ 概率分布列；

(3)、在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进 $n$ 吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断 $n = 7$ 与 $n = 8$ 应选用哪一个．

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20、为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了100名学生，调查这100名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图．

(1)、若该校共有2000名同学，试估计该校假期日均阅读时间在 $[20, 60)$ 内的人数；

(2)、开学后，学校从日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取了6名学生作为代表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周（每周两人，不重复）进行．求第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于 $[60, 80)$ 的概率；

(3)、用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，设这3人中日均阅读时间不低于60分钟人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E (X)$ ．

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	喜欢增加体育运动时间	不喜欢增加体育运动时间
初中生	160	40
高中生	140	60

$P (χ^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.01
$k$	2.706	3.841	6.635