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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{1}{2} {(- 1)}^{n} + 2^{n + 1} - \frac{5}{2}$ ，设 $b_{n} = a_{n} - 2^{n}$ ，则 $\{b_{n}\}$ 的前11项和为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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2、已知曲线 $y = x + \ln x$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (a + 2) x + 1$ 有且仅有一个公共点，则实数a的值是（）

A、 $- 8$ B、0 C、0或8 D、8

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3、某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布 $N (95, 8^{2})$ ，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（）
（附： $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.68$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.95,$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.99$ ）

A、A B、B C、C D、D

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4、由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 下支的一部分，离心率为 $2$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm x$ D、 $y = \pm 2 x$

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5、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} - a_{2} = 6$ ，若直线l过点 $M (m, a_{m})$ ， $N (n, a_{n}) (m \neq n, m, n \in N^{*})$ ，则直线l的斜率为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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6、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了6次试验，收集数据如下表所示，建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型，则回归直线必过点（）
零件数 $x$ 个
50
60
70
80
90
100
加工时间 $y$ min
88
95
102
108
115
122

A、 $(75, 102)$ B、 $(75, 105)$ C、 $(80, 108)$ D、 $(80, 105)$

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7、已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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8、记 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ， $\sin A = \sqrt{7} \sin C$ ．

(1)、求 $\frac{b}{c}$ 的值；

(2)、若 $\vec{C D} = 2 \vec{D A}$ ，且 $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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9、已知四面体 $A B C D$ 的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上， $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = B D = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ，且 $A C ⊥ B D$ ，则二面角 $A - C D - O$ 的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{6}$

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10、已知向量 $\vec{a} = (0, 1), \vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{b} - 4 \vec{a})$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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11、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．已知函数 $f (x) = \frac{4}{2^{x} + 2}$ ，则下列结论正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $(0, 2]$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 成中心对称图形 C、函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 D、若函数 $g (x)$ 满足 $y = g (x + 1) - 1$ 为奇函数，且其图象与函数 $f (x)$ 的图象有2024个交点，记为 $A_{i} (x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 2024)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} (x_{i} + y_{i}) = 4048$

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12、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$ C、 ${log}_{2} a + {log}_{2} b \leq 1$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$

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13、已知函数 $f (x) = x + ln (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x) + 2$ .若 $\forall x \in R$ ，不等式 $f (|2 x - a|) \geq 4 - f (|3 x - 2 a| - a^{2})$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{3}] \cup [\frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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14、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到点 $N (0, 2)$ 的距离为 $\sqrt{5}$ ， $A$ ， $B$ 为抛物线 $C$ 上两个动点，且线段 $A B$ 的中点 $M$ 在直线 $l : y = x$ 上．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、求 $△ N A B$ 面积的取值范围．

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15、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，底面 $△ A B C$ 是正三角形， $A B = A A_{1} = 3$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $A_{1} C_{1}$ 上，且 $A E = \frac{1}{3} A B$ ， $C_{1} F = \frac{1}{3} A_{1} C_{1}$ ．

(1)、求证： $A_{1} E //$ 平面 $B C F$ ；

(2)、求直线 $B B_{1}$ 与平面 $B C F$ 所成角的余弦值．

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16、致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在 $[80, 100]$ 内，为成绩优秀．
成绩
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
人数
5
10
15
25
20
20
5

(1)、根据以上数据完成 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
优秀
非优秀
合计
男
10
女
35
合计

(2)、某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为 $p$ （每次抽奖互不影响，且 $p$ 的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在 $[80, 100]$ 内，请列出其本次读书活动额外获得学分数 $X$ 的分布列并求其数学期望．
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
附表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879

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17、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 4 a x + 9 ln x$ 在 $x = 3$ 处取得极值．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[e, e^{2}]$ 上的最小值．

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18、在公差为3的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $3 a_{2} + 1 = a_{5}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = 2^{a_{n} + 2} (n \in N^{*})$

(1)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19、“杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为 $a_{1}$ ，第3行的第3个数字为 $a_{2}$ 、⋯，第 $n + 1$ 行的第3个数字为 $a_{n}$ ，则 $a_{6} =$ ，数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - 2 m x + 3$ 的图象为曲线 $C$ ，若曲线 $C$ 存在与直线 $y = x$ 垂直的切线，则实数 $m$ 的取值范围是．

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零件数 $x$ 个	50	60	70	80	90	100
加工时间 $y$ min	88	95	102	108	115	122

成绩	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
人数	5	10	15	25	20	20	5

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879

	优秀	非优秀	合计
男	10
女		35
合计