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相关试卷

1、已知 $a ， b \in R$ ，方程 $x^{2} + a x - b = 0$ 有一个虚根为 $1 + i ， i$ 为虚数单位，另一个虚根为 $z$ ，则（）

A、该方程存在实数根 B、 $a = - 2$ C、 $z = 1 - i$ D、 $z^{2024} = 2^{1012}$

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2、 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $c \cos B + b \cos C = a^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 2$ B、若 $B + C = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $△ A B C$ 不可能为锐角三角形 D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{B C} \cdot \vec{B O} = \frac{1}{2}$

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3、已知直线 $a, b$ 与平面 $α, β, γ$ ，能使 $α ⊥ β$ 的充分条件是（）

A、 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ B、 $a / / α, a ⊥ β$ C、 $a / / α, a / / β$ D、 $α \cap β = a, b ⊥ a, b \subset β$

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4、掷两枚质地均匀的骰子，设 $A =$ “第一枚出现奇数点”， $B =$ “第二枚出现偶数点”，则 $A$ 与 $B$ 的关系为（）

A、互斥 B、包含 C、互为对立 D、相互独立

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5、在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量 $\overset{⃑}{BD}$ 在 $\overset{⃑}{BA}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{3}{2} \overset{⃑}{BA}$ B、 $\frac{3}{4} \overset{⃑}{BA}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \overset{⃑}{BA}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \overset{⃑}{B A}$

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6、圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，其侧面积为 $84 π$ ，则较小底面的半径为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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7、下列各组数的方差从小到大排序是（）
（1） $6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 ；$ （2） $5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7$ ；
（3） $4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8$ ；（4） $3, 3, 3, 3, 6, 9, 9, 9, 9$ ．

A、（1）（2）（3）（4） B、（4）（3）（2）（1） C、（3）（1）（2）（4） D、（2）（1）（3）（4）

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8、如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是

A、 B、 C、 D、

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9、以 $2 i - \sqrt{5}$ 的虚部为实部，以 $\sqrt{5} i + 2 i^{2}$ 的实部为虚部的新复数是（）

A、 $- \sqrt{5} + i$ B、 $2 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $\sqrt{5} + \sqrt{5} i$

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10、已知函数 $f (x) = x (a - ln x)$ ， $a \in R$ ．

(1)、令 $h (x) = a f (x) (a \neq 0)$ ，讨论 $h (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，函数 $g (x) = f (x) - 2 k$ 有且仅有一个零点，设 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 为两个不相等的正数，且满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ．
①求k的取值范围；
②求证： $x_{1} + x_{2} < e$ ．

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11、某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以 $3 : 0$ 或 $3 : 1$ 取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以 $3 : 2$ 取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？

(2)、在第6场比赛中，当 $p = \frac{2}{3}$ 时，设甲所得积分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及期望

(3)、在第6场比赛中，记甲 $3 : 1$ 取胜的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值．

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12、如图，四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 与四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是全等的矩形， $A C ⊥ B C$ ， $A A_{1} = 2 A C = 2$ ， P为 $A A_{1}$ 上的动点．

(1)、若P为 $A A_{1}$ 的中点，求证： $C P ⊥$ 平面 $P B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若直线 $B_{1} P$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{5}$ ，求平面 $C P B_{1}$ 与平面 $P B_{1} C_{1}$ 夹角的余弦值．

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13、为了对高中生进行职业规划教育，让高中生了解信息技术发展的前沿，体验典型人工智能技术的应用感受和人工智能对学习和生活的影响，激发学生对信息技术未来的追求，某市计划在高一年级推广开设人工智能研究性学习课程．为调研学生对人工智能的兴趣，随机从某校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中数据如下表：
有兴趣
没兴趣
合计
男生
48
2
50
女生
32
18
50
合计
80
20
100

(1)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析高一学生对人工智能有兴趣与性别是否有关？

(2)、以该100名高一学生对人工智能有兴趣的频率作为全市高一学生对人工智能有兴趣的概率，从全市的高一学生中随机抽取5名学生，记X为这5名学生中对人工智能有兴趣的学生人数，求X的期望与方差．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$α$
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是正项等比数列，且 $b_{4} - b_{1} = 7$ ， $b_{2} b_{3} = 8$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、从下面①②两个条件中选择一个作为已知条件，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．
① $c_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} \cdot \log_{2} b_{2 n}}$ ；② $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ．

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15、丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 在 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{″} (x)$ ，若在 $(a, b)$ 上 $f^{″} (x) < 0$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上为“凸函数”，已知 $f (x) = e^{x} - x \ln x - \frac{m}{2} x^{2}$ 在 $(1, 2)$ 上为“凸函数”，则实数m的取值范围是．

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16、已知直线 $x - m y - \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 交于A，B两点，写出满足“ $△ A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ ”的m的一个值．

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17、在正项无穷数列 $\{a_{n}\}$ 中，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} a_{n + 2 m} = {(a_{n + m})}^{2}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为m阶等比数列．在无穷数列 $\{b_{n}\}$ 中，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $b_{n} + b_{n + 2 m} = 2 b_{n + m}$ ，则 $\{b_{n}\}$ 称为m阶等差数列，下列说法正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 为1阶等比数列， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{5}{4}$ ， $a_{3} + a_{4} + a_{5} = \frac{5}{16}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 为等比数列且公比2 B、若 $\{b_{n}\}$ 为1阶等差数列， $\{b_{n}\}$ 共有30项，其中奇数项之和为20，偶数项之和为50，则 $\{b_{n}\}$ 为等差数列且公差为2 C、若 $\{a_{n}\}$ 为m阶等比数列，则 $\{\ln a_{n}\}$ 为m阶等差数列 D、若 $\{a_{n}\}$ 既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 是等比数列

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18、在正方体中，下列说法正确的是（）

A、正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段 B、以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个 C、以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个 D、以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（）

A、椭圆C的焦点坐标为 $(\pm 1, 0)$ B、当 $m = 1$ 时，椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ C、当 $m = 3$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为6 D、若椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值是 $2 \sqrt{3}$

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20、设事件A，B满足 $A \subseteq B$ ，且 $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.6$ ，则 $P (B |\bar{A}) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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	有兴趣	没兴趣	合计
男生	48	2	50
女生	32	18	50
合计	80	20	100

$α$	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	7.879	10.828