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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左､右两支分别交于 $A, B$ 两点， $P$ 为 $C$ 的右支上一点（异于点 $B$ ）， $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心为 $N$ .则以下结论正确的是（）

A、直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率之积为4 B、若 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 4$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ C、以 $P F_{1}$ 为直径的圆与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切 D、若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则点 $N$ 坐标为 $(2, \sqrt{6} - \sqrt{5})$

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2、在圆锥 $P O$ 中， $P O$ 为高， $A B$ 为底面圆的直径，圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$ ，母线长为 $2$ ，点 $C$ 为 $P A$ 的中点，圆锥底面上点 $M$ 在以 $A O$ 为直径的圆上（不含 $A ､ O$ 两点），点 $H$ 在 $P M$ 上，且 $P A ⊥ O H$ ，当点 $M$ 运动时，则（）

A、三棱锥 $M - P A O$ 的外接球体积为定值 B、直线 $C H$ 与直线 $P A$ 不可能垂直 C、直线 $O A$ 与平面 $P A M$ 所成的角可能为 $60^{\circ}$ D、 $A H + H O < 2$

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3、已知函数 $f (x) = 2 sin x + sin 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是最小正周期是 $2 π$ B、 $π$ 是 $f (x)$ 的一个极值点 C、 $f (x)$ 的最小值是 $- 2$ D、 $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ 上单调递减

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4、已知函数 $f (x) = x e^{- x}, g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - l n x + a$ ，若 $\exists x_{1}, x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{e^{2}} + l n 2 - 2, \frac{1}{e} - \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{2}{e^{2}} + l n 2 - 2, \frac{1}{e} - \frac{1}{2}]$ C、 $(\frac{1}{2} - \frac{1}{e}, \frac{2}{e^{2}} - l n 2 + 2)$ D、 $[\frac{1}{2} - \frac{1}{e}, \frac{2}{e^{2}} - l n 2 + 2]$

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5、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{4}) - \sqrt{3}$ （ $ω > 0$ ）在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有三个零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{25}{6}, \frac{29}{6})$ B、 $[\frac{23}{6}, \frac{31}{6})$ C、 $(\frac{25}{6}, \frac{29}{6}]$ D、 $(\frac{23}{6}, \frac{31}{6}]$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 4$ ，对 $\forall m$ ， $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m + n} = a_{m} \cdot a_{n}$ ， $T_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项乘积，若 $T_{5} < T_{4}$ ，则 $T_{101} =$ （）

A、 $- 2^{5151}$ B、 $2^{5050}$ C、 $- 2^{101}$ D、 $2^{5151}$

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7、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，则 $|A F| + 4 |B F|$ 的最小值为（）

A、5 B、9 C、8 D、10

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8、某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（）(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)

A、众数约为10 B、中位数约为6.5 C、平均数约为6.76 D、该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.6

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9、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \vec{b}$ B、 $\vec{b}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{b}$

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10、已知 $z = 2 + i$ ，则 $\frac{z}{z + i} =$ （）

A、 $\frac{3 - i}{4}$ B、 $\frac{1 - i}{4}$ C、 $\frac{3 + i}{4}$ D、 $\frac{1 + i}{4}$

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11、已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ， $A = \{2, 3, 6, 7\}$ ， $B = \{2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{6, 7\}$ B、 $\{1, 7\}$ C、 $\{1, 6\}$ D、 $\{1, 6, 7\}$

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12、已知平面内两个定点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，满足直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$ 的动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于不同两点 $M, N$ ；

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $A M$ 和 $A N$ 的斜率之积为 $\frac{1}{12}$ ，求证：直线 $l$ 过定点；

(3)、若直线 $l$ 与直线 $l_{1} : x + 2 y = 0, l_{2} : x - 2 y = 0$ 分别交于 $R, S$ ，求证： $| M R | = | N S |$ .

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13、定义：对于一个无穷数列 $\{a_{n}\}$ ，如果存在常数 $a$ ，对于任意给定的正数 $ε$ ，总存在正整数 $N$ ，使得对于任意大于 $N$ 的正整数 $n$ ，都有 $|a_{n} - a| < ε$ .则称常数 $a$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的极限，记作 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ .根据上述定义，完成以下问题：

(1)、若 $a_{n} = 3 + {(- \frac{1}{2})}^{n}$ ， $b_{n} = \log_{2} (2 n - 1)$ ，判断数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 是否存在极限；如果存在，请写出它的极限（不需要证明）；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，数列 $\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列；
①求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
②若 $T_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}$ .证明： $\lim_{n \to \infty} T_{n} = 1$

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} (a + \ln x)$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \in (0, \ln 2)$ 时，设 $g (x) = f^{'} (x)$ .求证： $y = g (x)$ 存在极小值点.

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15、某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为 $\frac{1}{20}$ .检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测.

(1)、从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取 $10$ 件进行检测，求这 $10$ 件产品中的次品数 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、若智能自动检测的准确率为 $98 %$ ，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率.

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16、如图，在圆锥 $S O$ 中， $A D$ 为圆 $O$ 的直径， $B, C$ 为圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 的两个三等分点， $M$ 为 $S D$ 的中点， $S O = O A = 3$ ；

(1)、求证：平面 $S B D ⊥$ 平面 $S O C$ ；

(2)、求直线 $S D$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值.

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17、抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于A、B两点，抛物线 $C$ 在A、B处的切线交于点 $P$ ，则 $| A B | + \frac{16}{| P F |^{2}}$ 的最小值为.

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $c cos B + b cos C = \sqrt{2} a cos A$ 且 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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19、已知 $i$ 为虚数单位，则 $\frac{9 + 2 i}{4 - i}$ 的共轭复数为.

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20、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 对任意的实数x，y都有 $f (x) + f (y) = 2 f (\frac{x + y}{2}) g (\frac{x - y}{2})$ 成立， $f (1) = 1$ ， $g (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $g (0) = 1$ C、 $g (x) = \frac{f (1 + x) + f (1 - x)}{2}$ D、4为 $g (x)$ 的一个周期

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