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相关试卷

1、如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且PM∶MA=5∶8．

(1)、在线段BD上是否存在一点N，使直线 $M N / /$ 平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；

(2)、假设存在满足条件（1）的点N，求线段MN的长．

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2、设a，b，c分别为 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边，已知 $b = 2$ ， $\frac{1}{2} c + 2 = a \cos C$ .

(1)、求A的值；

(2)、若 $5 \vec{A D} = 2 \vec{A B} + 3 \vec{A C}$ ， $C D = b$ ，求c的值.

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3、如图，四棱锥 $E - A B C D$ 的底面为菱形， $E A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $A E = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若点 $P \in$ 平面 $A B E$ ，且 $P \in$ 平面 $A D E$ ，证明 $P \in A E$ ，并求 $P C$ 的最小值；

(2)、求点 $A$ 到平面 $C D E$ 的距离．

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4、欧拉公式 $e^{x i} = \cos x + i \sin x$ （ $i$ 为虚数单位， $x \in R$ ）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式， $e^{\frac{π}{3} i}$ 的共轭复数为.

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5、已知 $m, n$ 是空间内两条不同的直线， $α, β$ 是空间内两个不同的平面，下列说法不正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n // α$ B、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $α \cap β = m$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n // β$ ， $α // β$ ，则 $m ⊥ n$

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6、如图所示，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为截面 $A_{1} C_{1} B$ 上的动点，若 $D P ⊥ A_{1} C$ ，则点 $P$ 的轨迹长度是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7、如图是《易・系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头．洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形 $A B C D$ ， $E F G H$ ，其中 $O$ 为这两正方形的中心， $E ， F ， G$ ， $H$ 分别为 $A B ， B C ， C D ， D A$ 的中点，若正方形 $A B C D$ 的边长为2，则下列结论不正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{H G}$ B、 $\vec{A O} \cdot (\vec{G C} + \vec{G B}) = 0$ C、 $\vec{B H} = - \frac{1}{2} \vec{E F} + \frac{3}{2} \vec{E H}$ D、 $\vec{A O} \cdot \vec{B H} = - 1$

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8、万丈悬梯高可攀，白塔座落嘉陵边．白塔作为阆中市的标志性建筑之一．当你登临顶层，会欣赏到阆中AAAAA风景的全貌．感觉人仿佛在凌空飞翔．现有一数学兴趣小组，如图，测量河对岸的白塔高 $A B$ ，可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ．现测得 $∠ B C D = α = 30^{.} ， ∠ B D C = β = 120^{.} ， D C = 10$ 米，在点C测得塔顶 $A$ 的仰角为 $θ = 60^{.}$ ，则测得的塔高 $A B$ 为（）米．

A、 $10 \sqrt{3}$ B、10 C、 $30 \sqrt{3}$ D、30

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D = \frac{1}{3} A B$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点．设 $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{E A} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$

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10、如图，水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，已知 $A^{'} O^{'} = B^{'} O^{'} = C^{'} O^{'} = 1$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $2 + 2 \sqrt{5}$ D、 $2 + 4 \sqrt{5}$

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11、已知点 $A (- 4, - 2 \sqrt{3})$ ， $B (- 2, 0)$ ， $C (\sqrt{3}, m)$ ， O为坐标原点，若 $\vec{O A} + \vec{O B}$ 与 $\vec{O C}$ 共线，则 $m =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12、如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数 $z = (2 - a i) i$ 为“等部复数”，则实数a的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、 $- 2$

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13、能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是

A、 B、 C、 D、

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14、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，任何一个平面的方程都能表示成 $A x + B y + C z + D = 0$ ，其中 $A, B, C, D \in R$ ， $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$ ，且 $\vec{n} = (A, B, C)$ 为该平面的法向量.已知集合 $P = \{(x, y, z) ||x| \leq 1, |y| \leq 1, |z| \leq 1\}$ ， $Q = \{(x, y, z) ||x| + |y| + |z| \leq 2\}$ ， $T = \{(x, y, z) ||x| + |y| \leq 2, |y| + |z| \leq 2, |z| + |x| \leq 2\}$ .

(1)、设集合 $M = \{(x, y, z) |z = 0\}$ ，记 $P \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_{1}$ ， $Q \cap M$ 中所有点构成的图形的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的值；

(2)、记集合Q中所有点构成的几何体的体积为 $V_{1}$ ， $P \cap Q$ 中所有点构成的几何体的体积为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 的值：

(3)、记集合T中所有点构成的几何体为W.
①求W的体积 $V_{3}$ 的值；
②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数.

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15、已知圆 $x^{2} + y^{2} - x - 2 y + m = 0$ 与 $x$ 轴交于点 $P (1, 0)$ ，且经过椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点，椭圆 $G$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $G$ 的方程；

(2)、若点 $A$ 为椭圆 $G$ 上一点，且在 $x$ 轴上方， $B$ 为 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点，点 $M$ 为椭圆 $G$ 的右顶点，直线 $P A$ 与 $M B$ 交于点 $N, △ P B N$ 的面积为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求直线 $P A$ 的斜率．

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16、已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) ln x (a \in R)$ ．

(1)、求证：当 $a = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = - 1$ 只有一个交点；

(2)、若 $f (x)$ 既存在极大值，又存在极小值，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、某同学用“五点法”画函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
$x$
$\frac{π}{3}$
$\frac{5 π}{6}$
$ω x + φ$
$\frac{π}{2}$
$2 π$
$y = A \sin (ω x + φ)$
0
$- 3$

(1)、请将上表数据补充完整，并写出函数 $f (x)$ 的解析式（直接写出结果即可）；

(2)、根据表格中的数据作出 $f (x)$ 在一个周期内的图象；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上的值域．

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18、已知函数 $f (x) = x - \sqrt{2} \sin x, x \in [0, π]$ ，则 $f (x)$ 的最大值为．

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19、平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \sqrt{10}$ ，则 $|\vec{b}| =$ ．

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20、已知点 $A (4, 1), F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 为 $C$ 的右支上一点，则（）

A、 $|P A| + |P F_{1}| < 6 \sqrt{2}$ B、 $|P A| + |P F_{2}| \geq 3 \sqrt{2}$ C、 $|P A| - |P F_{1}| \leq - \sqrt{2}$ D、 $|P A| - |P F_{2}| > - \sqrt{2}$

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$x$		$\frac{π}{3}$	$\frac{5 π}{6}$
$ω x + φ$		$\frac{π}{2}$		$2 π$
$y = A \sin (ω x + φ)$	0		$- 3$