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相关试卷

1、现有一段底面周长为 $12 π$ 厘米和高为12厘米的圆柱形水管， $A B$ 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从 $A$ 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行 $π$ 厘米后再向下爬行3厘米到达 $P$ 点，另一只从 $B$ 沿下底部圆弧逆时针方向爬行 $π$ 厘米后再向上爬行3厘米爬行到达 $Q$ 点，则此时线段 $P Q$ 长（单位：厘米）为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、6 D、12

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2、抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用 $x$ 表示红色骰子的点数，用 $y$ 表示绿色骰子的点数，用 $(x, y)$ 表示一次试验结果，设事件 $E : x + y = 8$ ；事件 $F$ ：至少有一颗点数为5；事件 $G : x > 4$ ；事件 $H : y \leq 4$ .则下列说法正确的是（）

A、事件 $E$ 与事件 $F$ 为互斥事件 B、事件 $F$ 与事件 $G$ 为互斥事件 C、事件 $E$ 与事件 $G$ 相互独立 D、事件 $G$ 与事件 $H$ 相互独立

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3、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} + b^{2} + a b = c^{2}$ ，若角 $C$ 的内角平分线 $C M = 2$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{C B}$ 的最小值为（）

A、8 B、4 C、16 D、12

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4、已知 $\vec{n_{1}} = (- 1, 9, 1), \vec{n_{2}} = (m, - 3, 2), \vec{n_{3}} = (0, 2, 1)$ ，若 $\{\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}, \vec{n_{3}}\}$ 不能构成空间的一个基底，则 $m =$ （）

A、3 B、1 C、5 D、7

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5、某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在实验操作中结果为优秀的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6、被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫愁村，位于湖北省钟祥市.高高的塔楼，是整个莫愁村最高的建筑，登楼远跳，可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台，如图所示，上底面正方形的边长约为8米，下底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体的体积（单位：立方米）约为（）

A、2400 B、1520 C、1530 D、2410

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7、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{B O}$ ，则（）

A、 $\vec{B O} = \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{B O} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{B O} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{B O} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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8、已知复数 $(1 + i) (2 + m i)$ 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $(- 2, 2)$

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9、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - (a + b) x + 2$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线斜率为 $2 - 2 a$ .

(1)、比较 $a$ 和 $b$ 的大小；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有最小值，且最小值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的最大值.

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10、若函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ ，则（）

A、 $f (x)$ 可能只有1个极值点 B、当 $f (x)$ 有极值点时， $a^{2} > 3 b$ C、存在 $a$ ，使得点 $(0, f (0))$ 为曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、当不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty, 1) \cup (1, 2)$ 时， $f (x)$ 的极小值为 $- \frac{4}{27}$

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11、已知函数 $f (x) = a^{x} - 2 (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象不经过第一象限，则函数 $g (x) = {log}_{\frac{1}{a}} (x + 2)$ 的图象不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} + x$ ， $g (x) = \ln x + x$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ ，则 $x_{1} + x_{2} + 2 - t^{2}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $2$ C、 $\frac{2 e - 1}{2}$ D、 $\frac{3 e - 1}{e^{2}}$

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13、 $|\frac{2}{i} - 1| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、5

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14、已知函数 $g (x) = 2 \ln (- x - 1) + \cos (- x - 2)$ .

(1)、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图像关于 $x = - 1$ 对称，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、 $f (x) - 1 \leq a x$ 在定义域内恒成立，求a的值；

(3)、求证： $\sum_{k = n + 1}^{2 n} f (\frac{1}{k} - \frac{1}{2}) < \ln 4$ ， $n \in N^{*}$ .

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为A，B，点 $(1, \frac{3}{2})$ 在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为 $(1, 0)$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为 $k_{1}$ ，直线BN的斜率为 $k_{2}$ ，求证： $k_{1} = \frac{1}{3} k_{2}$ ．

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16、夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是 $\frac{2}{3}$ ，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为 $\frac{1}{3}$ ，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如此往复．（提示：设 $A_{n}$ 表示第 $n$ 天选择绿豆汤）

(1)、求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率

(2)、求该同学第2天选择绿豆汤的概率；

(3)、记该同学第 $n$ 天选择绿豆汤的概率为 $P_{n}$ ，求出 $P_{n}$ 的通项公式.

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17、图1是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形ABCD，将 $△ A C D$ 沿AC折起得到如图2所示的三棱锥 $P - A B C$ ，且 $P B = \sqrt{2}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面ABC；

(2)、点M是棱PA上不同于P，A的动点，设 $\frac{A M}{A P} = λ (0 < λ < 1)$ ，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为 $\frac{7}{9}$ ，求 $λ$ 的值．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} \neq 0$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $\sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{n - 1}} = a_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $a_{1} + b_{1} = 0$ ， $a_{2} + b_{2} = a_{3} + b_{3} = a_{4} - 3 b_{4}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{n b_{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

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19、正方体 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $3$ ， $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ （包括边界）上一动点， $E$ 是棱 $C D$ 上一点，若 $∠ A P B = ∠ D P E$ ，且 $△ A P B$ 的面积是 $△ D P E$ 面积的 $9$ 倍，则三棱锥 $P － A B E$ 体积的最大值是．

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20、已知在 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中第5项为常数项，展开式中含有 $x^{2}$ 顶的系数为.

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