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相关试卷

1、已知正实数a，b，满足 $e^{a} + e^{b - 1} \geq \frac{1}{e^{a}} + \frac{1}{e^{b - 1}}$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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2、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形， $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，点 $O$ 是 $B_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 的交点，则直线 $A O$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、1 B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \tan x + a, - \frac{π}{2} < x < 0 \\ e^{x} + \ln (x + 1) - \frac{1}{x + 1}, x \geq 0 \end{array}$ 的值域为R ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $[- 1, + \infty)$

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4、若直线 $l : 2 x - y = 0$ 是双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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5、从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本，将该样本进行某项质量指标值测量，下图是测量结果x的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则在下列选项中，关于该样本统计量的叙述不正确的选项是（）

A、指标值在区间 $[195, 205)$ 的产品约有33件 B、指标值的极差介于50与70之间 C、指标值的第60百分位数大于205 D、指标值的方差的估计值是150

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6、已知命题p： $\exists x \in (0, + \infty), x + \frac{1}{x} - a < 0$ ．若p是假命题，则实数a的取值范围是（）

A、 $a > 2$ B、 $a < 2$ C、 $a \geq 2$ D、 $a \leq 2$

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7、设复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = {(1 + i)}^{2}$ ，则 $z$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8、已知 $A = \{x + 1, x^{2} - 1\}$ ， $B = \{4, 8\}$ .

(1)、求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $A = B$ 时，求实数 $x$ 的值.

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9、德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率 $y$ 随时间 $t$ （小时）变化的趋势可由函数 $y = 1 - 0.6 t^{0.27}$ 近似描述，则记忆率为 $50 %$ 时经过的时间约为（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.30, lg 3 \approx 0.48$ ）

A、2小时 B、0.8小时 C、0.5小时 D、0.2小时

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10、已知 $a = 2^{- \frac{1}{3}}$ ， $b = {l o g}_{2} \frac{1}{3}$ ， $c = {l o g}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则（）．

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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11、已知集合 $A = \{x| \frac{1}{4} \leq 2^{x} \leq 32\}$ ， $B = \{x| x^{2} - 4 x + 4 - m^{2} \leq 0, m \in R\}$ .

(1)、若 $m = 3$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若存在正实数m，使得“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x > 0 \\ \cos x, x \leq 0 \end{array}$ 则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是增函数 C、 $f (x)$ 是周期函数 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, + \infty)$

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13、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $B D ⊥ A_{1} C$ ，且 $E, F, H$ 分别为线段 $B B_{1}, A_{1} B, A D$ 的中点.

(1)、证明： $|A_{1} B| = |A_{1} D|$ .

(2)、证明：平面 $E F H$ $∥$ 平面 $A_{1} C D$ .

(3)、若 $A B = 2 A_{1} B_{1}, A A_{1} = 1, ∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，当 $A_{1} B$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成的角最大时，求四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积 $V$ .

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14、已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.
尺寸大于 $M$ 的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于 $M$ 的零件用于小型机器中.

(1)、若 $M = 60$ ，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.

(2)、若 $M \in (60, 70]$ ，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件.
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于 $M$ 的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于 $M$ 的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元.
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元.
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值 $H (M)$ （单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案.

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15、在 $△ A B C$ 中， $1 + sin A sin B = {cos}^{2} B - {sin}^{2} A + {sin}^{2} C$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $D$ 在边 $A B$ 上， $D C ⊥ C B$ ，且 $A C = \sqrt{3}, A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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16、已知第10~19届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示.

(1)、求第 $10 \sim 19$ 届亚运会中国队获得的金牌数的极差；

(2)、剔除第 $12$ 届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数；

(3)、设第 $10 \sim 12$ 届亚运会中国队获得的金牌数的方差为 $s_{1}^{2}$ ，第 $13 \sim 15$ 届亚运会中国队获得的金牌数的方差为 $s_{2}^{2}$ ，不通过计算，试比较 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小，并说明理由.

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17、为促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校开发出文化艺术课程､科技课程､体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为 $x, y, z, m, n (x < y < z < m < n, x, y, z, m, n \in N^{*})$ .已知这5个班级参加科技课程的人数的平均数为9，方差为4，则 $z - 9 =$ .

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3}), \vec{b} = (\sqrt{3}, λ), \vec{c} = (4 \sqrt{3}, - 3)$ ．若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ ；若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则向量 $3 \sqrt{3} \vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为.

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19、复数 $(2 + i^{3}) i$ 的虚部为．

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20、刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 $\frac{π}{2}$ ，故其各个顶点的曲率均为 $2π - 3 \times \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ ．如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 2, A A_{1} = \frac{3}{2}$ ，点 $C$ 的曲率为 $\frac{π}{3}, D, E, F$ 分别为 $A C, A B, A_{1} C_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $B F / /$ 平面 $A_{1} D E$ B、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A$ 的曲率为 $\frac{5π}{6}$ C、在四面体 $A_{1} A D E$ 中，点 $E$ 的曲率小于 $π$ D、二面角 $A_{1} - D E - A$ 的大小为 $\frac{π}{3}$

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