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相关试卷

1、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B {}_{1}C_{1} D_{1}$ 中，E为线段A₁B₁的中点，F为线段AB的中点．

(1)、求点B到直线AC₁的距离；

(2)、求直线FC到平面AEC₁的距离．

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2、在空间直角坐标系中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，点 $P (x, y, z)$ ．若直线l经过点 $P_{0}$ ，且以 $\vec{u}$ 为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点．

(1)、求证： $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ；

(2)、当 $a = b = 2 c = 1, 4 x_{0} = 2 y_{0} = z_{0} = 4$ ，且 $\vec{O P} \cdot \vec{u} = - 1$ 时，求点P的坐标．

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3、近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加 $2$ 次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核， $2$ 次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为 $\frac{1}{3}$ ，教师乙每次考核通过的概率为 $\frac{1}{4}$ ，且甲乙每次是否通过相互独立.

(1)、求乙通过考核的概率；

(2)、求甲乙两人考核的次数和为 $3$ 的概率.

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4、已知向量 $\vec{a} = (1 - t, 1 - t, t), \vec{b} = (2, t, t)$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $t$ 的值；

(2)、求 $|\vec{b} - \vec{a}|$ 的最小值.

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5、已知点 $P$ 是平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $\vec{A B} = (- 1, 2, 2)$ ， $\vec{A D} = (0, 1, 3)$ ， $\vec{A P} = (2, 1, 0)$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $A P ⊥ A B$ B、存在实数 $λ$ ，使 $\vec{A P} = λ \vec{B D}$ C、 $\vec{A P}$ 不是平面 $A B C D$ 的法向量 D、四边形 $A B C D$ 的面积为 $\sqrt{26}$

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6、从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（）

A、“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B、“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C、“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D、“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件

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7、在空间直角坐标系中，已知 $A (1, 1, - 1), B (1, 2, 2), C (- 3, 4, 2)$ ，则点A到直线 $B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{\sqrt{39}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

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8、已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的 $\frac{3}{4}$ 倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90 °, D_{1}, F_{1}$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点， $B C = C A = C C_{1}$ ，则 $B D_{1}$ 与 $A F_{1}$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{10}$

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10、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\vec{A C} = \vec{a} ， \vec{A B} = \vec{b} ， \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B C_{1}} =$ （）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

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11、已知随机事件 $A$ 和 $B$ 互斥， $A$ 和 $C$ 对立，且 $P (C) = 0.8, P (B) = 0.3$ ，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.5

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12、点 $P (- 3, 8, - 5)$ 关于平面 $x O y$ 对称的点的坐标是（）

A、 $(3, - 8, - 5)$ B、 $(- 3, 8, 5)$ C、 $(3, 8, 5)$ D、 $(- 3, - 8, 5)$

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13、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, 0, 1)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$

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14、空间中两点间的距离公式为.

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15、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，我们有 $P (A \cup B) =$ .

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16、如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $P A = A B = 6$ ， $B C = 3$ ，在线段 $P C$ 上（不含端点），是否存在点 $D$ ，使得二面角 $B - A D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，若存在，确定点 $D$ 的位置；若不存在，说明理由．

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D ∥ B C, A D = 2 B C = 4$ ，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, O, M$ 分别为 $A D, P D$ 的中点．

(1)、证明： $P B ∥$ 平面 $O M C$ ．

(2)、若 $C D = 2, P A = P D = 4$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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18、直线l的方向向量为 $\vec{n} = (1, 1, - 1)$ ，且l过点 $A (- 1, 1, 1)$ ，则点 $P (0, 1, - 1)$ 到直线l的距离为.

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19、已知直线 $l_{1} : \sqrt{3} x - y + 2 = 0$ ，直线 $l_{2} ⊥ l_{1}$ ，则直线 $l_{2}$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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20、已知 $A (- 2, 1, 3), B (1, - 1, 4)$ ，则 $\vec{A B} =$ （）

A、 $(3, 0, 1)$ B、 $(- 1, - 2, 1)$ C、 $(- 1, 0, 7)$ D、 $(3, - 2, 1)$

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