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相关试卷

1、命题 $p : \forall x > 0 ， x^{2} - a x + 2 > 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x > 0 ， x^{2} - a x + 2 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 0 ， x^{2} - a x + 2 > 0$ C、 $\exists x_{0} > 0 ， x_{0}^{2} - a x_{0} + 2 \leq 0$ D、 $\exists x_{0} \leq 0 ， x_{0}^{2} - a x_{0} + 2 \leq 0$

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2、设 $f (x)$ 是定义在区间 $D$ 上的函数，如果对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的下凸函数；如果有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的上凸函数．

(1)、已知函数 $f (x) = \frac{1}{tan x}, x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求证：
（ⅰ） $f (\frac{x}{2}) = \frac{sin x}{1 - cos x}$ ；
（ⅱ）函数 $f (x) = \frac{1}{tan x}, x \in (0, \frac{π}{2})$ 为下凸函数；

(2)、已知函数 $g (x) = a x^{2} + x - \frac{1}{x^{2}}$ ，其中实数 $a > 0$ ，且函数 $g (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内为上凸函数，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A C D = 90 °$ ， $∠ B C A = ∠ C D A = 30 °$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E, F$ 分别为 $P D, P C$ 的中点， $P A = 2 A B$ ．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - B$ 的大小．

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4、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 b \cos C = 2 a + c$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、设 $b = 9$ ，若点 $M$ 是边 $A C$ 上一点， $2 A M = M C$ ，且 $∠ M A B = ∠ M B A$ ，求 $a$ ， $c$ ．

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C ∥ A D$ ， $P A = P B = A B = B C = \frac{1}{2} A D$ ， $E$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $P A B$ ．

(2)、若 $A D ⊥$ 平面 $P A B$ ， $P A = 2$ ，求三棱锥 $E - P A B$ 的体积．

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- 1, 0)$ ．

(1)、证明： $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

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7、已知在 $△ A B C$ 中， $A C = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ B = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最大值为．

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8、若复数 $z = a + b i (a, b \in R, a > 0)$ 的模为5，虚部为4，则复数 $z =$ ．

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9、化简计算： $\sin 20 ° \cos 110 ° + \cos 160 ° \sin 70 ° =$ .

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10、下列命题正确的有（）

A、若 $z_{1} \cdot z_{2} \in R$ ，则 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数 B、在矩形 $A B C D$ 中， $|\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A B} - \vec{A D}|$ C、已知点 $P$ 在 $△ A B C$ 所在的平面内，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则点 $P$ 是 $△ A B C$ 的垂心 D、若 $O$ 是面积为4的 $△ A B C$ 内部的一点，且 $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $△ A O C$ 的面积为1

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11、已知 $f (x) = sin (2 ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 1$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增 D、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到的图象关于 $y$ 轴对称

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12、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且满足 $\vec{A O} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ， $\cos ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、－1 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形，直线 $P D$ 与平面 $A B C D$ ．所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则该四棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $16π$ B、 $32π$ C、 $48π$ D、 $64π$

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14、已知向量 $\vec{a} = (2, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (1, 0)$ ，则向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(0, \sqrt{3})$ D、 $(0, 3)$

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15、已知a，b是两条直线， $α$ ， $β$ 是两个平面，下列命题正确的是（）

A、若 $a ∥ α$ ， $b ∥ α$ ，则 $a ∥ b$ B、若 $α ∥ β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则a，b是异面直线 C、若 $a \subset α$ ， $b \subset α$ ， $a ∥ β$ ， $b ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $a \subset α$ ， $α \cap β = b$ ， $a ⊥ b$ ，则 $a ⊥ β$

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16、若 $\tan α = 3$ ，则 $\frac{1 + \sin 2 α}{2 \cos^{2} α + \sin 2 α} =$ （）

A、 $- 1$ B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、4

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17、若高为 $\sqrt{3}$ 的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、2 D、4

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18、已知复数 $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则 $z^{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、1 D、 $- 1$

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19、 $\vec{D C} + \vec{A B} - \vec{A C} =$ （）

A、 $\vec{D B}$ B、 $\vec{B C}$ C、 $\vec{A D}$ D、 $\vec{C B}$

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20、若随机变量 $ζ ~ B (10, 0.2)$ ，则 $D (2 ζ + 1) =$ .

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