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相关试卷

1、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $4 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}, M (2, 0), N (- 2, 0)$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过 $P (4, 0)$ 作一条斜率存在且不为0的直线 $l$ 交 $E$ 于 $A, B$ 两点.
（i）证明：直线 $A M$ 和直线 $B M$ 的斜率均存在且互为相反数；
（ii）若直线 $A M$ 与直线 $B N$ 交于点 $Q$ ，求 $Q$ 的轨迹方程.

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2、一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球､20个白球，从中随机有放回地逐次摸球作为样本，摸到红球或者第5次摸球之后停止.用 $X$ 表示停止时摸球的次数.

(1)、求 $X$ 的分布列和期望；

(2)、用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过 $0.1$ 的概率.

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P C D$ 为正三角形，底面 $A B C D$ 为梯形， $A B // C D$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，已知 $C D = 4 A B = 4$ ， $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{M D}$ .

(1)、证明： $A M$ $/ /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $A C = A D, P A = 3 \sqrt{2}$ ，求直线 $A M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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4、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{sin A + sin B}{b + c} = \frac{sin C}{a - b}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、如图，若点 $D$ 是 $B C$ 边上一点，且 $A B ⊥ A D, B D = 2 C D$ ，求 $∠ A D B$ .

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1, a_{n + 1} - 2 a_{n} = 2 n$ ，则满足 $S_{n} > 2024$ 的最小正整数 $n$ 为.

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6、如图，正八面体 $A B C D E F$ 的12条棱长相等，则二面角 $E - A B - F$ 的余弦值为.

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7、 ${(2 x + y - 1)}^{6}$ 的展开式中，所有项的系数和为.

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8、如图，心形曲线 $L : x^{2} + {(y - |x|)}^{2} = 1$ 与 $y$ 轴交于 $A, B$ 两点，点 $P$ 是 $L$ 上的一个动点，则（）

A、点 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ 和 $(- 1, 1)$ 均在 $L$ 上 B、点 $P$ 的纵坐标的最大值为 $\sqrt{2}$ C、 $|O P|$ 的最大值与最小值之和为3 D、 $|P A| + |P B| \leq 2 \sqrt{3}$

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9、下列关于成对数据统计的表述中，正确的是（）

A、成对样本数据的经验回归直线一定经过点 $(\bar{x}, \bar{y})$ B、依据小概率事件 $α = 0.1$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验对零假设 $H_{0}$ 进行检验，根据 $2 \times 2$ 列联表中的数据计算发现 $χ^{2} \approx 0.837 < x_{0.1} = 2.706$ ，由 $P (χ^{2} \geq 2.706) = 0.1$ 可推断 $H_{0}$ 不成立，即认为 $X$ 和 $Y$ 不独立，该推断犯错误的概率不超过 $0.1$ C、在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设 D、决定系数 $R^{2}$ 越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差

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10、若“ $x < k - 2$ 或 $x > k$ ”是“ $- 2 < x < 3$ ”的必要不充分条件，则实数 $k$ 的值可以是（）

A、3 B、 $- 3$ C、 $5$ D、 $- 5$

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11、若函数 $g (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} + (b - 1) x$ 存在单调递减区间，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 0)$

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12、现有一组数据 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ ，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于 $3$ 的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{11}{15}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{13}{15}$

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13、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $y = x$ 与双曲线的右支交于点 $P$ ，则 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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14、某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格.阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（ $=$ 平均分/150）为 $0.49$ ，标准差为 $22$ ，则该次数学考试及格的人数约为（）
附：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，记 $p (k) = P (μ - k σ \leq X \leq μ + k σ)$ ，则 $p (0.75) \approx 0.547, p (1) \approx 0.683$ .

A、127人 B、181人 C、254人 D、362人

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15、如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{17}$

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16、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 2$ 与抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的准线相切，则 $p$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、2

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17、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{2} a_{4} = 9$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、3 B、3或-3 C、27 D、27或-27

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18、若 $i (1 + z) = 1$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z} - z =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 2 i$ C、2 D、 $2 i$

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19、无穷数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ， …的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $a_{n}$ ﹔如果n是奇数，就对 $3 n + 1$ 尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $a_{n}$ ．

(1)、写出这个数列的前7项；

(2)、如果 $a_{n} = m$ 且 $a_{m} = n$ ，求m，n的值；

(3)、记 $a_{n} = f (n)$ ， $n \in N^{*}$ ，求一个正整数n，满足 $n < f (n) < f (f (n)) < \dots < \underset{2024 个 f}{\underset{⏟}{f (f (\dots f (n) \dots))}}$ ．

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20、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $M (m, - \frac{3}{2})$ 为 $C$ 上一点，且 $|M F| = \frac{3}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (4, 0)$ 且斜率存在的直线 $l$ 与 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ，且点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ，直线 $A D$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$ .
（i）求点 $Q$ 的坐标；
（ii）求 $△ O A Q$ 与 $△ O A B$ 的面积之和的最小值.

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