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相关试卷

1、若方程 $x^{2} + y^{2} + 2 k x - 4 y + k^{2} + k - 2 = 0$ 表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（）

A、 $(- 6, + \infty)$ B、 $[- 6, + \infty)$ C、 $(- \infty, 6]$ D、 $(- \infty, 6)$

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2、已知 $E, F$ 分别是空间四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 的中点，点 $G$ 是线段 $E F$ 的中点， $P$ 为空间中任意一点，则 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} =$ （）

A、 $\vec{P G}$ B、 $2 \vec{P G}$ C、 $3 \vec{P G}$ D、 $4 \vec{P G}$

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3、抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(0, - \frac{1}{16})$ D、 $(0, \frac{1}{16})$

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4、直线 $l$ 经过 $A (4, 2 \sqrt{3}), B (3, \sqrt{3})$ 两点，则 $l$ 的倾斜角是（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5、函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 具有如下性质：①定义域均为R；② $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数；③ $f (x) + g (x) = e^{x}$ （常数 $e$ 是自然对数的底数）.

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、对任意实数 $x$ ， ${[g (x)]}^{2} - {[f (x)]}^{2}$ 是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由；

(3)、若不等式 $2 f (x) - m \cdot g (2 x) \geq 0$ 对 $\forall x \in [\ln 2, \ln 3]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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6、人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：
年份
2008
2009
2010
2011
…
2020
数据量（ZB）
0.49
0.8
1.2
1.82
…
80

(1)、设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第 $x$ 年全球生产的数据量 $y$ （单位：ZB）与 $x$ 的关系，根据上述信息，试从 $y = a \cdot b^{x}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $b \neq 1$ ）， $y = a x + b (a > 0)$ ， $y = a \cdot \log_{b} x$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $b \neq 1$ ）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）；

(2)、根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍?

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7、已知函数 $f (x) = \log_{a} (a^{x} - 1)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），且 $f (2) = \log_{a} 3$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断并用定义法证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x - 2) < f (4)$ 的解集.

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8、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $a > 0$ ，且函数 $g (x) = a f (x) + b$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[0, 3]$ ，求实数a，b的值.

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9、已知集合 $A = \{x |\frac{1}{2} < 2^{x - a} < 16\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 3 x - 10 \leq 0\}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若存在实数 $a$ ，使得“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的______，求实数 $a$ 的取值范围.从“①充分不必要条件”和“②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答.若两个都选，则按第一个作答进行给分.

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10、已知 $\tan α = - \frac{3}{2}$ ，求下列各式的值.

(1)、 $\frac{\sin (2 π - α) \cos (π + α) \cos (\frac{π}{2} - α)}{\cos (π - α) \sin (α - π) \sin (\frac{3 π}{2} + α)}$ ；

(2)、 $2 \sin^{2} α - 3 \cos^{2} α + 1$ .

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11、已知函数 $f (x) = |\log_{6} x - 1| - k (k \in R)$ .若 $k = 0$ ，则 $f (x)$ 的零点为；若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $25 x_{1} + x_{2}$ 的最小值为.

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12、黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为： $R (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{m}, 当 x = \frac{n}{m} 时 (其中 m, n 为整数, 为 \frac{n}{m} 即约真分数), \\ 0, 当 x = 0 或 1 或区间 (0, 1) 上的无理数时 . \end{array}$ 若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且最小正周期为1的函数，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $f (\frac{2024}{2023}) + f (\sqrt{5}) =$ .

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13、已知函数 $f (x) = \log_{a} (2 x - 1) - 2$ 图象恒过定点 $P$ ，在直角坐标系 $x O y$ 中，角 $θ$ 以原点为顶点，以 $x$ 轴的非负半轴为始边，角 $θ$ 的终边也过点 $P$ ，则 $\sin θ$ 的值是.

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14、已知函数 $f (x) = (1 + x) (a - x)$ 是偶函数，则 $a =$ .

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15、设函数 $f (x) = \cos (\frac{π}{3} - x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的一个零点为 $x = \frac{π}{3}$ B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{3}$ 对称 C、 $y = {(\frac{1}{2})}^{f (x)}$ 是周期函数 D、方程 $f (x) = - \lg x$ 有3个解

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16、下列说法正确的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} > 0$ ， $e^{x_{0}} - 2 x_{0} + 1 = 0$ ”的否定为“ $\forall x \leq 0$ ， $e^{x} - 2 x + 1 \neq 0$ ” B、若幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(3, \sqrt{3})$ ，则 $f (4) = 2$ C、 $y = e^{\ln x}$ 与 $y = x$ 为同一函数 D、函数 $y = 10^{- x}$ 与函数 $y = - \lg x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称

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17、已知实数a，b满足 $a > b > 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} > a b$ B、 $b^{2} > a b$ C、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ D、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$

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18、下列运算正确的有（）

A、 $\lg 2 + \lg 3 = \lg 5$ B、 $\log_{3} 100 = 10 \log_{3} 10$ C、 $4^{\log_{4} 5} = 5$ D、 $\log_{3} 4 \cdot \log_{4} 3 = 1$

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19、设 $a = \log_{3} 2$ ， $b = \log_{4} 3$ ， $c = \log_{5} 4$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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20、若不等式 $\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{2}{\sqrt{b}} \geq \frac{m}{\sqrt{a} + 2 \sqrt{b}}$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、9

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年份	2008	2009	2010	2011	…	2020
数据量（ZB）	0.49	0.8	1.2	1.82	…	80