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相关试卷

1、已知 $P, Q$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的动点，直线 $P Q$ 与圆 $M_{:} {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切，切点 $A$ 恰为线段 $P Q$ 的中点，当直线 $P Q$ 斜率存在时点 $A$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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2、已知事件 $A 、 B$ ，如果 $A$ 与 $B$ 互斥，那么 $P (A B) = p_{1}$ ；如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P (A) = 0.6, P (B) = 0.7$ ，那么 $P (A + \bar{B}) = p_{2}$ ，则 $p_{1}, p_{2}$ 分别为（）

A、 $p_{1} = 0, p_{2} = 0.9$ B、 $p_{1} = 0.42, p_{2} = 0.9$ C、 $p_{1} = 0, p_{2} = 0.72$ D、 $p_{1} = 0.42, p_{2} = 0.45$

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $M$ 为双曲线右支上一点，若 $△ M F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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4、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的平均数为 $a$ ，标准差为 $b$ ，中位数为 $c$ ，极差为 $d$ ．由这组数据得到新数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{10}$ ，其中 $y_{i} = 2 x_{i} + 1 (i = 1, 2, \dots, 10)$ ，则下列命题中错误的是（）

A、新数据的平均数是 $2 a + 1$ B、新数据的标准差是 $4 b$ C、新数据的中位数是 $2 c + 1$ D、新数据的极差是 $2 d$

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5、若直线 $l_{1} : (a - 2) x + a y + 4 = 0$ 与 $l_{2} : (a - 2) x + 3 y + 4 = 0$ 平行，则 $a$ 的值为（）

A、0 B、2 C、3 D、2或3

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6、下列求导结果正确的是（）

A、 ${(\sqrt{x^{3}})}^{'} = \frac{3}{2} \sqrt{x}$ B、 $(cos x)^{'} = sin x$ C、 ${(4^{x})}^{'} = x 4^{x - 1}$ D、 $(ln 2)^{'} = \frac{1}{2}$

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7、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，侧面 $Δ P A D$ 是边长为2的正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $A D ⊥ B P$ ；

(2)、若点 $Q$ 为棱 $P C$ 上的动点，求平面 $A B Q$ 与平面 $P B C$ 夹角的正弦值的最小值.

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8、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $Q$ 为 $C$ 上一点且纵坐标为4， $Q P ⊥ y$ 轴于点 $P$ ，且 $|Q P| = \frac{1}{2} |Q F|$ .

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、已知点 $M (\frac{1}{2}, - 2)$ ， $A, B$ 是抛物线 $C$ 上不同的两点，且满足 $k_{A M} + k_{B M} = - \frac{8}{5}$ .证明：直线 $A B$ 恒过定点 $(- 2, - 3)$ .

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9、如图，在三棱锥 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ BAC = 90^{\circ} ， AB = AC = 2, A A_{1} = 4, A_{1}$ 在底面ABC的射影为BC的中点，D为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.
（1）证明： $A_{1} D ⊥ 平面 A_{1} BC$ ；
（2）求直线 $A_{1} B$ 和平面 $B B_{1} C C_{1}$ 所成的角的正弦值.

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10、已知圆 $C$ 过点 $A (4, 2)$ 和点 $B (1, 3)$ ，圆心在直线 $y = x - 1$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程，并写出圆心坐标和半径的值；

(2)、若直线 $l$ 经过点 $P (1, - 1)$ ，且 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为4，求直线 $l$ 的方程.

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11、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{2} = 2$ .

(1)、若 $a_{3} + b_{3} = 3$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{3} = 21$ ，求 $S_{3}$ .

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12、正三棱锥 $S - A B C$ ， $S A = 2 A B = 4$ ，点 $P$ 为侧棱 $S A$ 的中点， $M, N$ 分别是线段 $S B, A B$ 上的动点，则 $2 P M + M N$ 的最小值为.

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13、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 x$ 和圆 $M : {(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 $a =$ .

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14、设两个等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{7 n}{9 n + 4}$ ，则 $\frac{a_{3}}{b_{3}} =$ .

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15、如图，直平面六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长都为2， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $Q$ 是四边形 $C C_{1} D_{1} D$ （包括边界）内，则下列结论正确的是（）

A、过点 $A_{1}, B, P$ 的截面是直角梯形 B、若直线 $A Q //$ 面 $A_{1} B P$ ，则直线 $A Q$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ C、存在点 $Q$ 使得直线 $B_{1} Q ⊥$ 面 $A_{1} B P$ D、点 $Q$ 到面 $A_{1} B P$ 的距离的最大值为 $\frac{3 \sqrt{30}}{10}$

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16、两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）．已知圆锥轴截面的顶角为2θ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α．当 $θ < α < \frac{π}{2}$ 时，截口曲线为椭圆；当 $α = θ$ 时，截口曲线为抛物线；当 $0 < α < θ$ 时，截口曲线为双曲线．在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点P在平面ABCD内，下列说法正确的是（）

A、若点P到直线 $C C_{1}$ 的距离与点P到平面 $B B_{1} C_{1} C$ 的距离相等，则点P的轨迹为抛物线 B、若点P到直线 $C C_{1}$ 的距离与点P到 $A A_{1}$ 的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆 C、若 $∠ B D_{1} P = 45 °$ ，则点P的轨迹为抛物线 D、若 $∠ B D_{1} P = 60 °$ ，则点P的轨迹为双曲线

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17、对于两条不同直线 $m, n$ 和两个不同平面 $α, β$ ，下列选项正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m // α, n // β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ 或 $m // n$ C、若 $m // α, α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ 或 $m \subset β$ D、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n // α$ 或 $n \subset α$

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18、设椭圆 $C$ 的两个焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 交于点 $P, Q$ ，若 $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ，且 $3 |P F_{1}| = 4 |Q F_{1}|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{7}$

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19、已知等腰直角 $△ A B C$ 的斜边 $A B = \sqrt{2}, M, N$ 分别为 $A C, A B$ 上的动点，将 $△ A M N$ 沿 $M N$ 折起，使点 $A$ 到达点 $A^{'}$ 的位置，且平面 $A^{'} M N ⊥$ 平面 $B C M N$ .若点 $A^{'}, B, C, M, N$ 均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 表面积的最小值为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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20、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过 $A B$ 作一垂直于 $B_{1} C$ 的平面交平面 $A D D_{1} A_{1}$ 于直线 $l$ ，动点 $M$ 在直线 $l$ 上，则直线 $B M$ 与 $C D_{1}$ 所成角余弦值的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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