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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = |2 x + 1| - 2 |x - m|, m \in N$ ，且 $f (x) < 3$ 恒成立.
（1）求 $m$ 的值；
（2）当 $a \in [- \frac{1}{2}, 0), b \in [- \frac{1}{2}, 0)$ 时， $f (a) + f (b) = - 2$ ，证明： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 4 \leq 0$ .

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2、已知定义域为R的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + b}{2^{x + 1} + 2}$ 是奇函数.
（1）求 $b$ 的值；
（2）已知函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + b}{2^{x + 1} + 2}$ 为 $R$ 上的减函数，若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = b \cdot a^{x}$ （ $a, b$ 为常数且 $a > 0, a \neq 1$ ）的图象经过点 $A (1, 8)$ ， $B (3, 32)$
（1）试求 $a, b$ 的值；
（2）若不等式 ${(\frac{1}{a})}^{x} + {(\frac{1}{b})}^{x} - m \geq 0$ 在 $x \in (- \infty, 1]$ 时恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、如图，在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (2, 0)$ ， $B (1, \sqrt{3})$ ，直线 $x = t$ $(0 < t < 2)$ 将 $△ O A B$ 分成两部分，记左侧部分的多边形为 $Ω$ .设 $Ω$ 各边长的平方和为 $f (t)$ ， $Ω$ 各边长的倒数和为 $g (t)$ .
（Ⅰ）分别求函数 $f (t)$ 和 $g (t)$ 的解析式；
（Ⅱ）是否存在区间 $(a, b)$ ，使得函数 $f (t)$ 和 $g (t)$ 在该区间上均单调递减？若存在，求 $b - a$ 的最大值；若不存在，说明理由.

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5、已知函数 $f (x) = \log_{a} (x + 1)$ ， $g (x) = \log_{a} (1 - x)$ （其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、求函数 $f (x) + g (x)$ 的定义域.

(2)、判断函数 $f (x) - g (x)$ 的奇偶性，并予以证明.

(3)、求使 $f (x) + g (x) < 0$ 成立的 $x$ 的集合.

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6、函数 $y = \ln (3^{x} - 2^{x})$ 的定义域为.

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{2} x|, 0 < x \leq 2 \\ x^{2} - 8 x + 13, x > 2 \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上单调递减，则 $b - a$ 的最大值为．

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8、写出一个定义在R上且值域为 $(- 1, 1)$ 的奇函数 $f (x) =$ .

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9、若 $x > 0, y > 0, 2^{x} - \frac{4}{2^{3 y}} = 3^{- x} - \frac{3^{3 y}}{9}$ ，则（）

A、 $x > y$ B、 $x < y$ C、 $0 < x y \leq \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{3 y} \geq 2$

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10、设正实数m，n满足 $m > n$ ，且 $m + 2 n = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|m - 4| + 2 |n - 4| = 8$ B、 $\frac{n + 2}{m + 2} < \frac{n}{m}$ C、 $m n$ 的最大值为2 D、 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值是4

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11、若 $a < b < - 1, c > 0$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a - \frac{1}{b} < b - \frac{1}{a}$ C、 ${(\frac{a}{c})}^{c} > {(\frac{b}{a})}^{c}$ D、 $\ln (b - a) > 0$

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12、若函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} (a > 0 ， b > 0 ， a \neq 1 ， b \neq 1)$ 是偶函数，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、4 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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13、下列条件中，使 $a > b$ 成立的必要而不充分条件是（）

A、 $a - 1 > b$ B、 $a + 1 > b$ C、 $|a| > |b|$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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14、纯洁的冰雪，激情的约会，2030年冬奥会预计在印度孟买举行．按常理，该次冬奥会共有7个大项，如冰球、冰壶、滑冰、滑雪、雪车等；一个大项又包含多个小项，如滑冰又分为花样滑冰、短道速滑、速度滑冰三个小项．若集合U代表所有项目的集合，一个大项看作是几个小项组成的集合，其中集合A为滑冰三个小项构成的集合，下列说法不正确的是（）

A、“短道速滑”不属于集合A相对于全集U的补集 B、“雪车”与“滑雪”交集为空集 C、“速度滑冰”与“冰壶”交集不为空集 D、集合U包含“滑冰”

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15、已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \log_{2} \frac{1}{x + 1} \cdot \log_{2} \frac{x + 1}{2}$ .若 $f (x_{0}) = 2$ ，则 $x_{0} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ 或 $- 3$ B、 $1$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 3$ D、 $- 1$

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16、已知 $a = 2^{0.4}$ ， $b = \log_{5} 2$ ， $c = 3^{0.4}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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17、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x + 2$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $- 2 \leq x < 3$ 上的取值范围；

(2)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $t \leq x \leq t + 1$ 上的最大值.

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18、如图，建立平面直角坐标系 $x o y$ ， $x$ 轴在地平面上， $y$ 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 $y = k x - \frac{1}{20} (1 + k^{2}) x^{2} (k > 0)$ 表示的曲线上，其中 $k$ 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1)、求炮的最大射程；

(2)、设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标 $a$ 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

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19、计算： $\sqrt{{(π - 5)}^{2}} + 25^{- \frac{1}{2}} - \lg \sqrt[5]{10} + \ln \frac{3}{4} + \ln \frac{4}{3}$ .

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20、求下列各式的值：

(1)、 $\sqrt[4]{{(\sqrt{3} - 2)}^{4}} + {(0.001)}^{- \frac{1}{3}} - {(0.25)}^{\frac{1}{2}} \times {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{- 4} - 3^{\log_{3} 10}$ ；

(2)、 $(l o g_{2} 5 + l o g_{4} 0.2) \times (l o g_{5} 2 - l o g_{25} 0.5) .$

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