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相关试卷

1、以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（）

A、70 B、64 C、58 D、24

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2、已知随机变量 $X$ 取所有的值 $1 ， 2 ， 3 ， \dots ， n$ 是等可能的，且 $E (X) = 15$ ，则 $n =$ （）

A、 $29$ B、 $19$ C、 $6$ D、 $5$

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3、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 $5 %$ ，第2，3台加工的次品率均为 $3 %$ ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的 $20 % ， 30 % ， 50 %$ . 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（）

A、 $\frac{17}{50}$ B、 $\frac{15}{34}$ C、 $\frac{9}{34}$ D、 $\frac{5}{17}$

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4、学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（）

A、10 B、15 C、60 D、125

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5、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ，且 $P (0 < X \leq 2) = 0.36$ ，则 $P (X > 2) =$ （）

A、0.14 B、0.18 C、0.32 D、0.64

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6、已知 $f (x) = \frac{sin x}{x}$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2}{π}$ C、 $- \frac{1}{π}$ D、 $- \frac{4}{π^{2}}$

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1，公比为 $- 2$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前5项和为（）

A、11 B、16 C、 $- 15$ D、 $- 7$

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8、某专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现其注意力指数 $p$ 与听课时间 $t (h)$ 之间的关系满足如图所示的曲线.当 $t \in (0, 14]$ 时，曲线是二次函数图象的一部分，当 $t \in (14, 40]$ 时，曲线是函数 $y = \log_{a} (t - 5) + 83 (0 < a < 1)$ 图象的一部分.专家认为，当注意力指数 $p$ 大于或等于80时定义为听课效果最佳.

(1)、试求 $p = f (t)$ 的函数关系式.

(2)、若某个时间段听课效果不是最佳，则建议老师多提问，增加学生活动环节.问哪些时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？请结合函数图象和解析式，求解不等式，说明理由.

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9、已知函数 $f (x) = 2 \cos x \sin x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调减区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上的最大值和最小值.

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10、已知 $0 < α < \frac{π}{2}, cos α = \frac{4}{5}$ .

(1)、求 $tan (α + \frac{π}{4}), sin (π + α)$ 的值；

(2)、若 $0 < β < \frac{π}{2}$ 且 $cos (α + β) = - \frac{1}{2}$ ，求 $\sin β$ 的值.

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11、已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 3^{x} - a (a \in R)$ ，且 $f (- 3) = 26$ .

(1)、求 $a$ 的值，并求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、求方程 $f (x) = 2$ 的解集.

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12、函数 $y = {sin}^{2} x + 2 cos x + 2$ 在 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上的值域为.

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13、点 $A (4, 2)$ 在幂函数 $f (x)$ 的图象上，则 $f (f (9)) =$ .

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14、函数 $f (x) = ln (2 - x) + \frac{1}{x - 1}$ 的定义域为.

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15、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到 $y = 2 sin 2 x$ 的图象 B、 $f (\frac{π}{2}) = - \sqrt{3}$ C、 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq 4$ D、 $x = \frac{π}{3}$ 为函数 $f (x)$ 的一条对称轴

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16、以下结论正确的是（）

A、若角 $α$ 的终边上一点 $P$ 的坐标为 $(- 3, 4)$ ，则 $sin α = \frac{4}{5}$ B、不等式 $\frac{2}{x} < 1$ 的解集是 $(2, + \infty)$ C、函数 $f (x) = a^{x - 3} - 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过点 $(3, - 1)$ D、若 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$

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17、已知 $\tan α = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\cos α + \sin α}{\cos α - \sin α} =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、3 D、 $- 3$

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18、如图，已知 $△ A B C$ ， $A B = A C = 2 B C = 1$ ，且点 $P$ 是 $△ A B C$ 的重心.过点 $P$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 、 $A C$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ .设 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = μ \vec{A C}$ （ $λ \neq 0$ ， $μ \neq 0$ ）.

(1)、求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值，并判断 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由；

(2)、若 $△ A E F$ 的周长为 $C_{1}$ ， $△ A B C$ 的周长为 $C_{2}$ .设 $x = λ μ$ ，记 $f (x) = \frac{C_{1}}{C_{2}} - x$ ，求 $f (x)$ 的取值范围.

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19、如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面 $△ A B C$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形，体积为 $\frac{14 \sqrt{3}}{3}$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $A A_{1} = A_{1} B_{1} = B B_{1} = \frac{1}{2} A B$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求点 $B$ 到面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离；

(3)、在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $F$ ，使得二面角 $F - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{6}$ ，若存在，求出 $C F$ 的长，若不存在，请说明理由.

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20、为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，某学校举办了读书节活动.现从该校的2000名学生中发放调查问卷，随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照 $[0, 20)$ ， $[20, 40)$ ， … $[100, 120)$ ， $[120, 140]$ 组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

(1)、求 $a$ 的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；

(2)、估计该校学生每周课外阅读的平均时间；

(3)、若样本数据在 $[0, 20)$ 与 $[20, 40)$ 内的方差分别为 $s_{1}^{2} = 3$ ， $s_{2}^{2} = \frac{5}{3}$ ，计样本数据在 $[0, 40)$ 内的方差 $s^{2}$ .

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