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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ．

(1)、求圆O与圆C的外公切线的长；

(2)、过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设 $D (\frac{16}{5}, \frac{8}{5})$ ．
①求 $\frac{| P O |}{| P D |}$ 的值；
②求圆心C到直线AB的距离的取值范围．

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2、设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点是 $F$ ，左、右顶点分别是 $A_{1}, A_{2}$ ，过 $F$ 作 $x$ 轴的垂线交双曲线于 $B, C$ 两点，若 $A_{1} B ⊥ A_{2} C$ ，则双曲线的离心率为．

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3、若直线 $l$ 的斜率为 $- \sqrt{3}$ ，则 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} (x^{2} - a x - a)$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a > - 2$ 时，研究 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a \geq 0$ ，当 $x = x_{1}$ 时，函数 $f (x)$ 有极大值m；当 $x = x_{2}$ 时， $f (x)$ 有极小值n，求 $m - n$ 的取值范围.

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5、设直线 $l_{1}$ ： $a x + 3 y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + (a - 2) y + a = 0$ ，圆C： $x^{2} + y^{2} = 9$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $a = 3$ 或-1 B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{3}{2}$ C、 $l_{2}$ 恒过定点 $(- 2, - 1)$ D、 $l_{2}$ 被圆C截得的弦长最小值为4

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6、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 6$ ， $S_{7} = - 7$ ．则 $S_{n}$ 取得最小值时n的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $x \in (0, + \infty)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x \ln x - 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ；
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明 $\frac{x_{2} - x_{1}}{\ln x_{2} - \ln x_{1}} < 1$ ．

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8、 $(a, b)$ 表示正整数a，b的最大公约数，若 $\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}\} \subseteq \{1, 2, \dots, m\} (k, m \in N^{*})$ ，且 $\forall x \in \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}\}$ ， $(x, m) = 1$ ，则将k的最大值记为 $φ (m)$ ，例如： $φ (1) = 1$ ， $φ (5) = 4$ .

(1)、求 $φ (2)$ ， $φ (3)$ ， $φ (6)$ ；

(2)、已知 $(m, n) = 1$ 时， $φ (m n) = φ (m) φ (n)$ .
（i）求 $φ (6^{n})$ ；
（ii）设 $b_{n} = \frac{1}{3 φ (6^{n}) - 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{6}{25}$ .

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9、已知抛物线C：y²＝2px过点P(1，1)．过点 $(0, \frac{1}{2})$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．

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10、用半径为 $R$ 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 $α$ 的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角 $α$ 为多大时，容器的容积最大？

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11、（1）已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，证明： $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列；
（2）已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{n - 2}{2 n - 15}$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 取得最小值时n值．

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12、已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ， $g (x) = x^{2} + a$ ，若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为 $2 + 2 \sqrt{2}$ ，则 $a =$ ．

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13、平面内有 $n (n \geq 2)$ 条直线，其中任意两条直线都相交，任意三条直线不过同一点，设这 $n$ 条直线的交点个数为 $a_{n} =$ ．

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14、随机事件A，B相互独立，且 $P (A) = \frac{1}{5}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (A + \bar{B})$ ．

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15、已知四面体ABCD中， $A B ⊥$ 面BCD， $B C ⊥ C D$ ， E、F分别是棱AC、AD上的点，且 $B E ⊥ A C$ ， $B F ⊥ A D$ .记四面体ABEF、四棱锥 $B - E C D F$ 、四面体ABCD的外接球体积分别是 $V_{1}$ 、 $V_{2}$ 、 $V_{3}$ ，则 $\frac{V_{1} + V_{2}}{V_{3}}$ 的值不可能是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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16、已知圆 $M : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 9$ ，直线 $y = k x$ 交圆 $M$ 于 $A, B$ 两点，点 $C (6, 0)$ ，则三角形 $A B C$ 面积的最大值为（）

A、6 B、9 C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{27}{4}$

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17、已知函数 $f (x) = (x - 1) (e^{x} + a)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递增，则a的最小值为（）

A、 $e^{- 1}$ B、 $e^{- 2}$ C、e D、 $e^{2}$

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18、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{8} a_{9}} = \frac{8}{25}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、15 B、26 C、28 D、32

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19、若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是（）
①平面α内的任一条直线必垂直于平面β；
②平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线；
③平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线；
④过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β；

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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20、若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则 $p =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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