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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\frac{a}{b} = \frac{\cos A}{\cos B}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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2、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 1$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、1

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3、在 $△ A B C$ 中，已知 $D$ 是 $A B$ 边上一点，若 $\overset{⃑}{A D} = 2 \overset{⃑}{D B}$ ， $\overset{⃑}{C D} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{C A} + λ \overset{⃑}{C B}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4、已知向量 $\vec{a} = (3, m), \vec{b} = (- 1, \frac{1}{3})$ .若 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、9 D、 $- 9$

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5、 $cos 120^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 1) ， \vec{b} = (- 1, 2)$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(0, 3)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(1, 0)$ D、1

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7、解决下列问题

(1)、已知 $x > 3$ ，求 $\frac{2}{x - 3} + 2 x$ 的最小值；

(2)、已知 $x, y$ 是正实数，且 $x + y = 1$ ，求 $\frac{1}{x + 1} + \frac{3}{y + 2}$ 的最小值．

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8、下列说法中正确的有（）

A、命题 $p : \exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 < 0$ ”则命题 $p$ 的否定是 $\forall x \in R, x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$ B、“ $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ ”是“ $x < y$ ”的必要不充分条件 C、命题“ $\forall x \in Z, x^{2} > 0$ ”是真命题 D、“ $m < 0$ ”是“关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有一正一负根”的充要条件

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9、某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为 $x$ 元 $(9 \leq x \leq 11)$ 时，一年的销售量为 $\frac{48}{x - 5}$ 万袋，并且全年该桃酥食品共需支付 $3 x$ 万元的管理费. 一年的利润 $=$ 一年的销售量 $\times$ 售价 $-$ （一年销售桃酥的成本 $+$ 一年的管理费）.（单位：万元）

(1)、求该超市一年的利润 $L$ （万元）与每袋桃酥食品的售价 $x$ 的函数关系式；

(2)、当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润 $L$ 最大，并求出 $L$ 的最大值.

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10、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面是边长为 $2$ 的正方形，高为 $4$ ，则点 $A_{1}$ 到截面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11、折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形 $A O B$ ，其中 $∠ A O B = 120^{\circ}$ ， $O A =$ $3 O C = 3$ ，则扇面（曲边四边形 $A B D C$ ）的面积是（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{8}{3} π$ C、 $3 π$ D、 $\frac{16}{3} π$

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12、已知 $M = \{x \in N |\frac{8}{x} \in N\}$ ，则集合M的真子集的个数是（）

A、7 B、8 C、15 D、16

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13、已知 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点， $△ P A B$ 面积的最大值为2．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、记直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；

(3)、直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为 $k_{A M}$ ， $k_{A N}$ ，且 $k_{A M} k_{A N} = - \frac{3}{4}$ ，证明：直线MN过定点．

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14、年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得100元奖金，最终得4分的人可得50元奖金，其他得分的人可得10元奖金，已知小华获得一次抽奖机会．

(1)、求小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率；

(2)、记小华中奖金额为X，求X的分布列及数学期望，

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15、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 和 $C A A_{1} C_{1}$ 均为矩形， $A B ⊥ A_{1} C$ .

(1)、证明： $A B ⊥ A C$ ；

(2)、若 $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值.

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16、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{3} b \cos C + c \sin B = \sqrt{3} a$ .

(1)、求B；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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17、由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意）

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18、已知 $A (0, 2)$ ，抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F， $B (4, y_{0})$ 为 $Γ$ 上一点，若 $A B ⊥ A F$ ，则 $| B F | =$ ．

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19、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ B、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、若 $f (x_{1}) = x_{2} \ln x_{2} = 1$ ，则 $x_{1} x_{2} = 1$ D、若过点 $P (a, 0)$ 的曲线 $y = f (x)$ 的切线有且仅有两条，则a的取值范围为 $(- \infty, - 4) \cup (0, + \infty)$

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