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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，若 $∠ A B C = \frac{π}{4}, P A = A B = 2, E, F$ 分别为 $△ P A B, △ P C D$ 的重心.

(1)、求证： $E F$ $∥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P D ⊥ A C$ ，在线段 $P B$ 上存在一点 $M$ ，使得 $P M = λ P B$ ，且平面 $M A D$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $λ$ 的值.

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2、数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：在双曲线中（如图），任意两条互相垂直的切线 $P A, P B$ （其中 $A, B$ 为切点）的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.反之，双曲线的蒙日圆上任一点作双曲线的两条切线，两条切线垂直.已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，双曲线 $C$ 的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 2$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过蒙日圆上一点 $P$ 作双曲线 $C$ 的两条切线 $P A, P B$ ，与该蒙日圆分别交于 $M, N$ 两点，若 $∠ P M N = 30^{\circ}$ ，求 $△ P M N$ 的周长.

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3、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (2 p, m) (m > 0)$ 是 $C$ 上的一点，且 $|M F| = 5$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ ，与抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $|A B| = 16$ ，求直线 $l$ 的倾斜角.

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4、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q > 1, a_{5} = 9 a_{3}, a_{2} = 9$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {log}_{3} a_{n}$ ，求 $\{\frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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5、已知圆 $A : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = r^{2}, P (x, y)$ 在圆 $A$ 上运动，点 $B (2, 0)$ ，线段 $P B$ 的垂直平分线 $l$ 与直线 $A P$ 相交于点 $C$ .当 $r = 6$ 时，点 $C$ 轨迹的标准方程为；当 $r = 2$ 时，点 $C$ 轨迹的标准方程为.

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6、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0), A, B$ 为双曲线的左，右顶点，若点 $P$ 在双曲线上，且 $∠ P A B = 30^{\circ}, |P B| = |A B|$ ，则双曲线的渐近线方程是.

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7、我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是．

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8、定义两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的运算“ $\otimes$ ” $: \vec{a} \otimes \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| sin θ$ 与运算“ $\cdot$ ”： $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cos θ$ ，其中 $θ$ 是 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角.若 $|\vec{x}| = 2, |\vec{y}| = 5, \vec{x} \cdot \vec{y} = 6$ ，则 $\vec{x} \otimes \vec{y} =$ .

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9、过圆 $C : x^{2} + y^{2} - x + 2 y = 0$ 的圆心且与直线 $l : x - y + 1 = 0$ 垂直的直线方程为.

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10、已知圆 $C_{1} : {(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4 a$ 的半径为2，则下列命题是真命题的是（）

A、 $a = 1$ B、圆 $C_{2} : {(x - 9)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 64$ 与圆 $C_{1}$ 外切 C、若直线 $m x + y - 2 = 0$ 平分圆 $C_{1}$ 的周长，则 $m = - 1$ D、圆 $C_{3} : x^{2} + y^{2} - x - y - 1 = 0$ 与圆 $C_{1}$ 的公共弦所在直线方程为 $x + y + 1 = 0$

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11、阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中记载：计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为 $2 π$ ，两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A$ 是椭圆 $C$ 上的动点，点 $B$ 是点 $A$ 关于原点的对称点，若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的周长为8，则四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 面积的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、2

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12、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = - 1, a_{1} - a_{3} = - 3$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、4 B、 $- 8$ C、 $- 5$ D、8

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13、已知点 $(x_{0}, y_{0})$ 为直线 $x + 2 y + 6 = 0$ 上任意一点，则 $\sqrt{{(x_{0} + 1)}^{2} + {(y_{0} - 1)}^{2}}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{9 \sqrt{5}}{5}$

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14、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间向量的一个基底，若向量 $\vec{p} = 4 \vec{a} + 2 \vec{b} + 3 \vec{c}$ ，且向量 $\vec{i} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{j} = \vec{a} - \vec{b}, \vec{k} = \vec{c}$ ，则用基底 $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$ 表示向量 $\vec{p}$ 为（）

A、 $\vec{p} = 3 \vec{i} + \vec{j} + 3 \vec{k}$ B、 $\vec{p} = 3 \vec{i} + 3 \vec{j} + \vec{k}$ C、 $\vec{p} = \vec{i} + 3 \vec{j} + 3 \vec{k}$ D、 $\vec{p} = \vec{i} + \vec{j} + 3 \vec{k}$

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15、过点 $P (2, 4)$ 的直线与圆 $O : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切于点 $A$ ，则切线段 $P A$ 长为（）

A、3 B、4 C、 $\sqrt{17}$ D、5

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16、已知空间向量 $\vec{a} = (2, 0, 2), \vec{b} = (0, 1, 1)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(2, 0, 0)$ B、 $(2, 2, 0)$ C、 $(2, 0, - 2)$ D、 $(2, - 2, 0)$

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17、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 18$ ，则 $a_{1} + a_{9} =$ （）

A、6 B、8 C、10 D、12

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18、已知抛物线的焦点是 $F (1, 0)$ ，则抛物线的标准方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = - 4 x$ C、 $x^{2} = 4 y$ D、 $x^{2} = - 4 y$

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19、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ .若存在实数 $a$ ，使得对于任意 $x_{1} \in D$ ，都存在 $x_{2} \in D$ ，使得 $x_{1} + f (x_{2}) = a$ ，则称函数 $y = f (x)$ 具有性质 $P (a)$ .

(1)、分别判断： $y = 2^{x}$ 及 $y = 2 x + 1$ 是否具有性质 $P (0)$ ；（结论不需要证明）

(2)、若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，且具有性质 $P (1)$ ，证明：“ $1 \in D$ ”是“函数 $y = f (x)$ 存在零点”的充分非必要条件；

(3)、已知 $t \in R$ ，设 $g (x) = t x^{2} + 2 x$ ，若存在唯一的实数 $a$ ，使得函数 $y = g (x)$ ， $x \in [0, 2]$ 具有性质 $P (a)$ ，求 $t$ 的值.

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20、已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{a}{2^{x}}$ 是定义在R上的奇函数．

(1)、求 $a$ 的值，并用定义证明 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x \in [2, 3]$ 时，不等式 $f (2 t x - 1) + f (x^{2}) \geq 0$ 有解，求实数 $t$ 的取值范围．

(3)、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [- 2, 1]$ 时，不等式 $|f (x_{1})| - |f (x_{2})| \leq |m + \frac{9}{4 m}|$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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