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相关试卷

1、已知 $\vec{e}$ 是单位向量，且 $|2 \vec{e} - \vec{a}| = \sqrt{10},$ $\vec{a} + 2 \vec{e}$ 在 $\vec{e}$ 上的投影向量为 $5 \vec{e}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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2、已知 $⊙ M : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ ，直线 $l : 2 x + y + 2 = 0$ ， $P$ 为 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作 $⊙ M$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点为 $A$ ， $B$ ，当 $|P M| \cdot |A B|$ 最小时，直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $2 x + y - 1 = 0$ B、 $2 x - y - 1 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $2 x + y + 1 = 0$

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3、如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱 $A B F - D C E$ 组合而成， $A B ⊥ A F$ ， $A B = A D = A F = 4$ ， $G$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 上的动点.则（）

A、 $G$ 为 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点时，平面 $E F B C ⊥$ 平面 $B C G$ B、 $G$ 为 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点时，异面直线 $E C$ 与 $B G$ 之间的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、存在点 $G$ ，使得直线 $C F$ 与平面 $B C G$ 所成的角为 $60 °$ D、 $P$ 为 $E D$ 所在直线的动点，则 $|F P| - |P G|$ 的最大值为 $2 \sqrt{5} + 2$

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4、如图三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $S A = 2 \sqrt{2}$ ，则 $S C$ 与 $A B$ 所成角的大小为（）

A、 $90 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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5、方程 $\frac{x^{2}}{k + 3} + \frac{y^{2}}{2 k + 4} = 1$ 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（）

A、 $k > - 3$ B、 $k > - 2$ C、 $k > - 1$ D、 $k > 0$

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6、已知函数 $y = a^{x + 2} + 1 (a > 1)$ 的图象恒过定点 $(m, n)$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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7、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + b}{2^{x} + 1}$ 是奇函数．

(1)、求 $b$ 的值．

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明．

(3)、当 $x \in [1, 3]$ 时， $f (k x^{2}) + f (2 x - 1) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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8、设数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 都有无穷项，已知存在非零常数 $q$ ，使得 $b_{n} = a_{n} + q a_{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + q^{n - 1} a_{1} (n \in N_{+})$ ，此时称数列 $\{b_{n}\}$ 是由 $\{a_{n}\}$ “ $q$ -生成”的．

(1)、如果 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $\{b_{n}\}$ 满足的 $b_{n} = \{\begin{array}{l} 1, n = 1 或 2 \\ b_{n - 1} + b_{n - 2}, n \geq 3 \end{array}$ ，若数列 $\{b_{n}\}$ 是由 $\{a_{n}\}$ “ $q$ -生成”，求 $q$ 的值；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 是由 $\{a_{n}\}$ “ $q$ -生成”的，如果存在非零常数 $p$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 是由 $\{b_{n}\}$ “ $p$ -生成”的，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项；

(3)、设 $q = π$ ，且数列 $\{b_{n}\}$ ， $\{c_{n}\}$ ， $\{d_{n}\}$ 分别是由数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ ， $\{c_{n}\}$ “ $q$ -生成”的， $S_{n}^{\{d\}}$ 表示数列 $\{d_{n}\}$ 的前n项和．已知 $|S_{n}^{\{d\}}| \leq 1 (n \in N_{+})$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3}$ 的最小值．

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9、某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为 $\frac{2}{5}$ ；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为 $\frac{3}{5}$ ．

(1)、食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人）
套餐A满意度
A套餐改善前
A套餐改善后
合计
满意
20
40
60
不满意
30
30
60
合计
50
70
120
参考数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？

(2)、若A套餐拟提供2种品类的素菜， $n (n \geq 3, n \in N_{+})$ 种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求 $P (X = 1)$ 的最大值，并求此时n的值；

(3)、设员工小李第n天选择B套餐的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ ．

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10、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．已知 $a - λ c = \frac{1}{2} b$ ， $λ$ 为常数．

(1)、若 $λ = 0$ ， $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $λ = 1$ ， $\cos A - \cos C = - \frac{3}{4}$ ，求 $\cos B$ 的值．

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11、在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A B > A_{1} B_{1}$ ，侧棱 $A A_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$ ．若存在球 $O$ 与正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的5个面同时相切，求：

(1)、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的表面积．

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12、甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各局的输赢互不影响．若 $P_{i} (i = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 6)$ 表示在甲所得分数为 $i$ 时，最终甲获胜的概率，若 $P_{0} = 0$ ， $P_{6} = 1$ ，则 $P_{1} =$ ．

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13、已知函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - 2 a x + 3)$ 的值域为R，则实数a的取值范围为．

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14、已知 $α \in (0, π)$ ，且 $\cos α + \sin α = \frac{7}{13}$ ，则 $\cos α =$ ．

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15、勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）．利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）．若正四面体 $A B C D$ 的棱长为3，则下列说法正确的是（）

A、勒洛四面体 $A B C D$ 表面上任意两点间距离的最大值大于3 B、勒洛四面体 $A B C D$ 被平面 $A B C$ 截得的截面面积是 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ C、勒洛四面体 $A B C D$ 四个曲面交线长的和为 $6 π$ D、勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 $3 - \frac{3 \sqrt{6}}{4}$

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16、对一列整数进行如下操作：输入第一个整数 $x_{1}$ ，只显示不计算，接着输入第二个整数 $x_{2}$ ，只显示 $| x_{1} - x_{2} |$ 的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值．设全部输入完毕后显示的最后结果为 $p$ ．若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n$ ， $n \in N^{*}$ ，现把数列 $\{a_{n}\}$ 的前2025项随机地输入，则（）

A、 $p$ 的最小值为0 B、 $p$ 的最小值为1 C、 $p$ 的最大值为2025 D、 $p$ 的最大值为2024

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17、已知函数 $f (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + (2 - a) x + 2 b$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 2$ 时，若 $f (x)$ 有三个零点，则 $b$ 的取值范围是（0，1） B、当 $a = 2$ 且 $x \in (0, 1)$ 时， $f (\cos x) < f (\cos^{2} x)$ C、 $\forall x \in R$ ， $f (x) + f (1 - x) = 2 b - \frac{a}{2}$ D、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = f (x_{1})$ ，其中 $x_{0} \neq x_{1}$ ，则 $2 x_{0} + x_{1} = \frac{3}{2}$

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18、某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边 $△ A B C$ ，已知 $E F = 3$ ， $\cos ∠ A C F = \frac{13}{14}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{441}{16}$ B、 $\frac{441 \sqrt{3}}{16}$ C、 $\frac{441}{8}$ D、 $\frac{441 \sqrt{3}}{8}$

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19、在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， P为 $△ A B C$ 所在平面内的一个动点，若 $P C = 1$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为（）

A、4 B、 $3 + 2 \sqrt{3}$ C、 $2 + 3 \sqrt{2}$ D、6

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20、抛物线 $x = - 3 y^{2}$ 的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{12}$ B、 $x = \frac{1}{12}$ C、 $x = \frac{3}{4}$ D、 $y = \frac{3}{4}$

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套餐A满意度	A套餐改善前	A套餐改善后	合计
满意	20	40	60
不满意	30	30	60
合计	50	70	120

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828