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相关试卷

1、 $\cos 15 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{4}$

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点 $F (- 2, 0)$ 短轴长为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、连线 $l : x = - \frac{a^{2}}{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，过焦点 $F (- 2, 0)$ 的直线与椭圆交于 $M, N$ 两点.
（i）证明： $Q$ 点在以 $M N$ 为直径的圆外：
（ii）在 $l$ 上是否存在点 $E$ 使得 $△ E M N$ 是等边三角形.若存在，求出直线 $M N$ 的方程，若不存在，请说明理由.

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3、已知函数 $f (x) = e^{x} + \cos x - 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 只有一个零点；

(3)、当 $x \in (0, + \infty)$ 时，函数 $f (x) > a x - \sin x$ 恒成立，求a的取值范围．

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4、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别为 $A B ， C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $C D / /$ 平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、若侧面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ，底面 $A B C$ 是等边三角形，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 是菱形，且 $∠ A_{1} A C = 60^{°}$ ，求直线 $D E$ 与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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5、随着经济科技的发展，地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保，很受市民的喜爱.某城市地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过15站的地铁票价如下表：（ $x \in N^{*}$ ）
乘坐站数
$0 < x \leq 4$
$4 < x \leq 9$
$9 < x \leq 15$
票价（元）
2
4
6
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过15站．

(1)、若甲、乙两人共付车费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？

(2)、若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？

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6、已知 $y = f (x) - 3 x$ 是定义域为 $R$ 的偶函数， $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (1 + x) = f^{'} (1 - x)$ ，则 $f^{'} (2026) =$ ．

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7、三角形ABC中， $a = 3$ ， $b = 4$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，则 $c =$ .

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8、在 ${(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为，（用数字作答）

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9、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 a x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 2 x$ ，则 $a = 1$ B、若 $a = 1$ ，则函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、若 $a > e^{2}$ ，则函数 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $a - a \ln a - 1$ D、若 $f (x) \geq 0$ ，则 $a = 1$

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10、定义在 $[- 1, 3]$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(1, 3)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极大值

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11、已知函数 $f (x) = (x + 1) \sin x + \cos x$ .若对于任意的 $x_{1}, x_{2} \in [0, \frac{π}{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，均有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| > t |e^{x_{1}} - e^{x_{2}}|$ 成立，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, 0]$

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12、某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（）

A、630种 B、840种 C、1470种 D、1480种

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13、春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有（）

A、180 B、240 C、360 D、420

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14、五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数为（）

A、12 B、24 C、48 D、72

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15、已知 $\sin 2 α = \frac{1}{3}$ ，则 ${(\sin α + \cos α)}^{2}$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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16、 $|1 + i - i^{2} - i^{3}| =$ （）

A、 $0$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $8$

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17、已知集合 $A = \{x | - 3 < x < 2\}$ ，集合 $B = \{x | 0 \leq x \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 2]$ B、 $(0, 2]$ C、 $[0, 2)$ D、 $(- 3, 0]$

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18、已知函数 $f (x) = sin x \cdot sin (x + \frac{π}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} {cos}^{2} x$ ，将 $f (x)$ 的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍．得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称中心，并写出函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、关于 $x$ 的方程 $g (x) + cos x - a = 0$ 在 $[0, \frac{3 π}{2}]$ 内有两个不同的解 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ；
①求实数 $a$ 的取值范围；
②用 $a$ 的代数式表示 $cos (θ_{1} - θ_{2}) + \sqrt{10} sin (\frac{θ_{1} + θ_{2}}{2})$ 的值．

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19、如图，已知扇形 $A O B$ 半径为1，圆心角为 $θ = \frac{π}{3}$ ， $P$ 是扇形弧上的动点，记 $∠ A O P = α$ ，

(1)、请用 $α$ 来表示平行四边形 $O C P Q$ 的面积 $f (α)$ ；

(2)、求平行四边形 $O C P Q$ 面积的最大值，以及面积最大时角 $α$ 的值；

(3)、设 $g (α) = \sqrt{3} [f (α) + \frac{\sqrt{3}}{6}]$ ，若 $g (x) = \frac{4}{5} (\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{3})$ ，求 $g (x + \frac{π}{6})$ ．

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20、某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为 $T = 24$ 分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1∼12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离 $h$ 与时间 $t$ 的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为 $t$ 分钟．

(1)、求1号座舱与地面的距离 $h$ 与时间 $t$ 的函数关系 $h (t)$ 的解析式；

(2)、若只考虑前24分钟，
（i）求1号座舱与地面的距离为16米时 $t$ 的值；
（ii）记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为 $H$ 米，求 $H$ 的最大值和当 $H$ 取得最大值时 $t$ 的值．

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乘坐站数	$0 < x \leq 4$	$4 < x \leq 9$	$9 < x \leq 15$
票价（元）	2	4	6