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相关试卷

1、已知两个不同的平面 $α, β$ ，一条直线 $m$ ，下列命题是假命题的是（）

A、若 $α$ $∥$ $β, m$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $β$ B、若 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ C、若 $α$ $∥$ $β, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α, m$ $∥$ $β$ ，则 $α ⊥ β$

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2、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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3、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x < 2\}, B = \{y \in N ∣ y = x^{3}, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $[0, 2)$ C、 $\{1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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4、已知 $a \in R, i$ 是虚数单位， $(a + 2 i) (a - 2 i) = 4$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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5、对于给定的数列 $\{c_{n}\}$ ，如果存在实常数 $p 、 q$ ，使得 $c_{n + 1} = p c_{n} + q$ 对于任意 $n \in N^{*}$ 都成立，我们称数列 $\{c_{n}\}$ 是“优美数列”．

(1)、若 $a_{n} = 2 n, b_{n} = 3 \cdot 2^{n}, n \in N^{*}$ ，数列 $\{a_{n}\} 、 \{b_{n}\}$ 是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数 $p 、 q$ ，若不是，请说明理由；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n} + a_{n + 1} = 3 \cdot 2^{n} (n \in N^{*})$ ．若数列 $\{a_{n}\}$ 是“优美数列”，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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6、考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考.现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）：
成绩
性别
合格
不合格
合计
男性
45
10

女性
30

合计

105

(1)、完成此表；

(2)、根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由.
参考公式：①相关性检验的临界值表：
$P (k^{2} \geq x_{0})$
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.10
$x_{0}$
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
②卡方值计算公式： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .其中 $n = a + b + c + d$ .

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $D A // C B$ ，且 $∠ P A B = 120 °$ ， $D A = P A = 2$ ， $A B = C B = 1$ ， $C D = \sqrt{2}$ ， $P C = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ 为 $P A$ 的中点.

(1)、求证： $B E //$ 平面 $P D C$ ；

(2)、在线段 $P D$ 上是否存在点 $K$ ，使得平面 $K E B$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{P K}{K D}$ 的值；若不存在，说明理由.

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8、已知椭圆 $E$ 的中心在坐标原点，焦点 $F_{1}, F_{2}$ 在 $y$ 轴上，点 $P (- \frac{3}{2}, 1)$ 在 $E$ 上，长轴长与短轴长之比为 $2 : \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程．

(2)、设 $A$ 为 $E$ 的下顶点，过点 $B (0, 4)$ 且斜率为 $k$ 的直线与 $E$ 相交于 $C, D$ 两点，且点 $C$ 在线段 $B D$ 上．若点 $M$ 在线段 $C D$ 上， $∠ A M D = 2 ∠ B A M$ ，证明： $| B C | \cdot | M D | = | B D | \cdot | C M |$ ．

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9、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上的值域.

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10、某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为 $4 %$ ，乙生产线的次品率为 $7 %$ ，且甲生产线的产量是乙生产线产量的2倍．现在从该工厂生产的口罩中任取一件，则取到合格品的概率为．

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11、在正六棱锥 $P - A B C D E F$ 中， $A B = 2$ ， $P A = 2 \sqrt{5}$ ，则此正六棱锥的侧面积为；该正六棱锥的外接球的表面积为.

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12、在 ${(\sqrt{x} - 2)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为，各项系数之和为．

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13、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (x)$ 关于直线 $x = - 1$ 对称， $g (3 + 2 x)$ 为奇函数，则（）

A、 $f^{'} (- 1) = 0$ B、 $g (2023) + g (- 2025) = 1$ C、 $g (3) = 0$ D、 $g (2023) = 0$

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14、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{4})$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $2 π$ 不是 $f (x)$ 的周期 B、 $f (x) = 1$ 成立的充要条件是 $x = \frac{π}{8} + k π$ ， $k \in Z$ C、 $f (x)$ 的图象可通过 $y = sin 2 x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8}, \frac{5 π}{8}]$ 上单调递减

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15、已知向量 $\vec{a} = (- 1,2), \vec{b} = (0,3)$ ，如果向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a} - x \vec{b}$ 垂直，则实数 $x$ 的值为(　　)

A、1 B、－1 C、 $\frac{17}{24}$ D、－ $\frac{17}{24}$

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l 与抛物线W： $x^{2} = 2 y$ 相切于点P ，且与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 交于A，B两点.

(1)、当P 的坐标为 $(2, 2)$ 时，求 $|A B|$ ；

(2)、若点G 满足 $\vec{G O} + \vec{G A} + \vec{G B} = \vec{0} ，$ 求 $△ G A B$ 面积的最大值.

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17、为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按 $[0, 20), [20, 40), [40, 60), [60, 80), [80, 100]$ 分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只，其中该项指标值不小于60的有220只.
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体

没有抗体

合计

(1)、填写完成上面的 $2 \times 2$ 列联表（单位：只），并根据列联表及 $α = 0.025$ 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.

(2)、为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有60只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠最多注射两次疫苗后产生抗体的概率 $p$ ；
（ii）以（i）中确定的概率 $p$ 作为人体最多注射两次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，现有40人进行接种试验，设最多注射两次疫苗后产生抗体的人数为随机变量 $X$ ，当 $X = k$ 时， $P (X = k)$ 取得最大值，求 $k$ .
参考公式： $X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量）
$P (X^{2} \geq k_{0})$
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
$k_{0}$
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024

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18、已知函数 $f (x) = \ln (x + a)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $x - 2 y = 0$ 平行.
（Ⅰ）求 $a$ 的值；
（Ⅱ）令 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，求函数 $g (x)$ 的单调区间.

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19、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $c \cos B + b \cos C = a \sin (B + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、设 $a = 2$ ， $c = 3$ ，求 $cos (2 B - A)$ 的值．

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20、在四棱锥 $P - A B C D$ 中底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = A B$ ，点 $E$ 为 $P B$ 的中点，点 $F$ 为 $D C$ 的中点，(《九章算术》中有一词“鳖臑”，对“鳖臑”的解说：即四个面都是直角三角形的三棱锥.)

(1)、证明： $E F ∕ ∕$ 平面 $P A D$ ；

(2)、请你判断三棱锥 $P - A B C$ 是否为“鳖臑”，若是请给出证明过程，若不是请说明理由.

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成绩性别	合格	不合格	合计
男性	45	10
女性	30
合计			105

$P (k^{2} \geq x_{0})$	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.10
$x_{0}$	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

抗体	指标值		合计
抗体	小于60	不小于60	合计
有抗体
没有抗体
合计

$P (X^{2} \geq k_{0})$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.100	0.050	0.025
$k_{0}$	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024