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相关试卷

1、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $M$ 在 $C$ 上， $M N ⊥ l$ 于 $N$ ，直线 $N F$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{N A} = 2 \vec{A F}$ ，则（）

A、 $∠ M N F = 60^{\circ}$ B、 $|N F| = \frac{4}{3} p$ C、 $|M B| = \sqrt{3} |M N|$ D、 $\sin ∠ N A M = \frac{3 \sqrt{7}}{14}$

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2、一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ 满足 $x_{i} - x_{i - 1} = 2 (2 \leq i \leq 10)$ ，若去掉 $x_{1}, x_{10}$ 后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（）

A、极差变小 B、平均数变大 C、方差变小 D、第25百分位数变小

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3、已知复数 $z = \cos \frac{2 π}{2023} + i \sin \frac{2 π}{2023}$ ，则 $(z - 1) (z^{2} - 1) \dots (z^{2022} - 1) =$ （）

A、2022 B、2023 C、 $- 2022$ D、 $- 2023$

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4、已知A，B，C，D是体积为 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$ 的球体表面上四点，若 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，且三棱锥A－BCD的体积为 $2 \sqrt{3}$ ，则线段CD长度的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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5、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的图象过点 $(0, 1)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{8}, \frac{π}{4})$ 上具有单调性，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、4 C、 $\frac{16}{3}$ D、8

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2, n \in N^{*}$ .记数列 $\{\frac{a_{n} + 1}{(a_{n} + 3) (a_{n + 1} + 3)}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ .若对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $k > T_{n}$ ，则实数k的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{10}, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{10}, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{5}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{5}, + \infty)$

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7、已知 $a > b > 0$ ，设椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ．若 $e_{2} = 3 e_{1}$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{5} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$

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8、已知在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $\vec{B D} = 5 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{5}{6} \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{4}{5} \vec{A C}$ D、 $\frac{4}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$

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9、已知集合 $A = \{x |\frac{1}{2} < 2^{x} < 2\}$ ， $B = \{x |y = \lg (x + 1)\}$ ，则 $A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1)$

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10、已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x} + 1 (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、证明：当 $x > 0$ 时， $x e^{e^{x}} > e (e^{x} - 1)$ .

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11、已知函数 $f (x) = x^{a} - \log_{b} x (a > 1, b > 1)$ 有且只有一个零点，则ab的取值范围为.

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12、在 $(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) (x - 5)$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是.

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13、已知 $f (1 - x) = 4 x^{2} + 2 x + 1$ ，则 $f (\frac{3}{2}) =$ ．

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14、在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $C D = \sqrt{3} C C_{1} = \sqrt{3}$ ， $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上动点， $E$ ， $F$ 分别为 $A_{1} D_{1}$ 和 $B C$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{C P} = λ \vec{C B_{1}} (0 < λ < \frac{1}{3})$ ，则经过 $P$ ， $E$ ， $F$ 三点的直棱柱的截面为四边形 B、直线 $B_{1} C$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、三棱锥 $P - A_{1} D C_{1}$ 的体积为定值 D、 $A_{1} P + B P$ 的最小值为 $\sqrt{7}$

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15、设椭圆 $C :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上、下顶点为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ .关于该椭圆，有下列四个命题：
甲： $| A_{1} F_{1} | = 1$ ；乙： $△ B_{1} F_{1} F_{2}$ 的周长为8；
丙：离心率为 $\frac{1}{2}$ ；丁：四边形 $A_{1} B_{1} F_{2} B_{2}$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ .
如果只有一个假命题，则该命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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16、已知 $a = {0.9}^{1.2}$ ， $b = \log_{3} 4$ ， $c = \ln 0.1$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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17、下列函数中是偶函数且在区间 $(0, + \infty)$ 上是增函数的是（）

A、 $f (x) = x |x|$ B、 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ C、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{4} - x^{2} + 2$

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18、（多选）下列图形中可以表示以 $M = {x ∣ 0 \leq x \leq 1}$ 为定义域， $N = {y ∣ 0 \leq y \leq 1}$ 为值域的函数的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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19、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为整数，且满足对任意正整数 $n$ ，总存在正整数 $m$ ，使得 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{m}$ ，则称这样的数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ .

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2 n$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 是否具有性质 $P$ ？并说明理由；

(2)、若 $a_{1} = 3$ ，求出具有性质 $P$ 的数列 $\{a_{n}\}$ 公差的所有可能值；

(3)、对于给定的 $a_{1}$ ，具有性质 $P$ 的数列 $\{a_{n}\}$ 是有限个，还是可以无穷多个？

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20、如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = C A = P B = 1$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $E$ 是棱 $P B$ 的中点，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知.

(1)、求证： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - B$ 的余弦值.
条件①： $P C = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ；条件②：直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角为 $45^{\circ}$ .

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