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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = t x^{2} - 2 ln x - 1$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线的斜率为3，求 $t$ .

(2)、已知 $f (x)$ 恰有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .
①求 $t$ 的取值范围；
②证明： $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} < \frac{2 - 2 ln t}{t}$ .

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2、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 和 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 均为正方形，平面 $A_{1} B_{1} B A ⊥$ 平面 $A B C D, A B = 2 B B_{1} = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1}, E$ 为线段 $C D$ 上一点.

(1)、若 $E$ 为线段 $C D$ 的中点，证明：平面 $A_{1} D_{1} E$ $∥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ .

(2)、若直线 $A B$ 与平面 $A_{1} D_{1} E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求 $\frac{D E}{C E}$ .

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3、某导弹试验基地对新研制的 $A, B$ 两种导弹进行试验， $A$ 导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}$ ， $B$ 导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$ .

(1)、若一枚 $A$ 导弹击中一个空中目标，且一枚 $B$ 导弹击中一个地面目标的概率为 $p_{1}$ ，一枚 $A$ 导弹击中一个地面目标，且一枚 $B$ 导弹击中一个空中目标的概率为 $p_{2}$ ，比较 $p_{1}, p_{2}$ 的大小；

(2)、现有两枚A导弹，一枚 $B$ 导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望.

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4、已知直线 $y = - 1$ 与 $y = - 5$ 关于抛物线 $C : x^{2} = 2 p y$ 的准线对称.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若过 $C$ 的焦点的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 24$ ，求 $l$ 的斜率.

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5、在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有 $A, B, C, D, E, F, G$ 共7个点（任意三点均不共线），若将这7个点用21条线段两两相连，则 $A$ 的度数为；若将这7个点用17条线段两两相连，且这7个点的度数均大于2，则不同的图形的数量为.

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6、《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为.

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7、复数 $|\sqrt{5} - 2 i| + 2 i$ 的实部与虚部之和为.

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x + 1) = f (- x + 3), f (4) = 2 e^{4}$ ，当 $x \in (2, + \infty)$ 时， $(x - 2) f^{'} (x) - f (x) = {(x - 2)}^{3} e^{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 B、 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递增 C、 $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ 是 $f (x)$ 的一个极小值点 D、 $f (|x| + 4) > f (1)$

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9、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是等轴双曲线 $W : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点，以坐标原点 $O$ 为圆心， $W$ 的焦距为直径的圆与 $W$ 交于 $A, B, C, D$ 四点，则（）

A、 $W$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ B、 $|A F_{1}| |A F_{2}| = 2 a^{2}$ C、 $|A F_{1}| + |A F_{2}| = 4 a$ D、四边形 $A B C D$ 的面积为 $2 \sqrt{3} a^{2}$

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10、若将函数 $f (x) = 2 cos (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = 2 cos (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $f (\frac{π}{12}) = g (\frac{π}{12})$ C、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上有公共点

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11、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C, P A, P B, P C$ 两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为 $9 π$ ，则该三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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12、箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线 $y = f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{4}{|x| + 2}$ B、 $f (x) = - \frac{8}{x^{2} + 4}$ C、 $f (x) = - x^{4} - 2$ D、 $f (x) = - \frac{2}{x^{3} + 1}$

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13、位于某海域 $A$ 处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的 $B$ 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东 $30^{\circ}$ 且与甲船相距30海里的 $C$ 处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（）

A、 $10 \sqrt{13}$ B、 $5 \sqrt{13}$ C、 $10 \sqrt{37}$ D、 $5 \sqrt{37}$

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14、2014年1月至9月全国城镇调查失业率依次为 $5.2 %, 5.3 %, 5.2 %, 5.0 %, 5.0 %, 5.0 %, 5.2 %, 5.3 %, 5.1 %$ ，则（）

A、这组数据的众数为 $5.3 %$ B、这组数据的极差为 $0.2 %$ C、这组数据的 $40 %$ 分位数为 $5.2 %$ D、这组数据的平均数大于 $5.1 %$

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15、 $\vec{A B} + \vec{B C} + 2 \vec{C D} - \vec{C E} =$ （）

A、 $\vec{A D}$ B、 $\vec{A E}$ C、 $\vec{A D} + \vec{C D}$ D、 $\vec{A D} + \vec{E D}$

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16、椭圆 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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17、已知集合 $A = {x ∣ 1 < x < 5}, B = \{x ∣ x^{2} - x - 6 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 5}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 3}$ C、 ${x ∣ - 3 < x < 5}$ D、 ${x ∣ 1 < x < 2}$

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18、已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x} (a \in R) ．$

(1)、若 $f (x)$ 是偶函数，求a的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，证明： $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} \geq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2});$

(3)、若 $a < 0$ ，记 $g (x) = k |x^{2} + 2 x|, h (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 1 & (x < 0) \\ 0 & (x = 0) \\ x^{2} - 1 & (x > 0) \end{matrix}$ ，函数
$y = f (g (x)) - f (h (x))$ 恰有3个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = \sin x \cos x \cos φ - \sin^{2} x \sin φ + \frac{1}{2} \sin φ (| φ | < \frac{π}{2})$

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $g (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ 的图象，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、当 $x \in [\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ ，求 $φ$ 的值．

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20、如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为h轴建立如图所示的平面直角坐标系 $t O h$ ，将小球视为点 P，则小球的运动可视为点 P在AB之间的上下运动．它在 ts时相对于平衡位置（O点）的高度h（PO）（P在O点下方时， $P O < 0$ ）（单位： cm）由关系式 $h = 2 \sin (\frac{π}{2} t + \frac{π}{3}) (t \geq 0)$ 确定．

(1)、点P 在开始运动（即 $t = 0$ ）时的位置在哪里?每秒钟点P能往复运动多少次?

(2)、在下图中画出h关于t的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；

(3)、当点P 开始运动时，t轴的负半轴上M点处连续发出一束光经过OA 的中点，在 $t_{0} s$ 时点 P 恰好被这束光第3次照到，求 $t_{0}$ 的值．

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