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相关试卷

1、在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得 $1$ 分，其概率为 $\frac{1}{3}$ ，获得 $2$ 分，其概率为 $\frac{2}{3}$ .最多进行 $20$ 轮答题，某同学累计得分为 $20$ 分时，比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军.

(1)、当进行完 $3$ 轮答题后，甲同学总分为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列及 $E (Y)$ ；

(2)、若累计得分为 $m$ 的概率为 $P_{m}$ ，（初始得分为 $0$ 分， $p_{0} = 1$ ）
①求 $P_{m} - P_{m - 1}$ 的表达式( $0 \leq m \leq 19, m \in N^{*}$ ).
②求获得亚军的概率.

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2、在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，点P是 $C_{1}$ 上任意一点．抛物线 $C_{2} : x^{2} = 2 y$ ，

(1)、求 $C_{1}$ 的方程；

(2)、过点P作 $C_{1}$ 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 $A ， B$ 两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值；

(3)、 $P C ， P D$ 是 $C_{2}$ 的两条切线， $C ， D$ 是切点，求 $△ P C D$ 面积的最小值．

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3、若函数 $f (x) = λ ln x (λ > 0)$ 与函数 $g (x) = 1 - \frac{a}{x}$ 的图象在公共点处有相同的切线.

(1)、当 $λ = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在公共点处的切线方程；

(2)、求 $a$ 的最小值：

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4、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D ∥ B C$ ，面 $P A C ⊥$ 底面 $A B C D, P A ⊥ A C, P A = B C = 2 A B = 4, ∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ A P$ ；

(2)、求平面 $A C P$ 与平面 $C D P$ 夹角的余弦值．

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5、已知 $△ A B C$ 的三边 $a, b, c$ 所对的角分别为 $A, B, C, 5 (a sin A - b sin B) = 3 c sin C$ ．

(1)、求证： $tan A = 4 tan B$ ；

(2)、若 $B \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，求 $tan C$ 的取值范围．

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6、如图，将边长为1的正五边形 $A B C D E$ 的各边延长，得到一个正五角星.若点 $P, Q$ 在正五角星的内部（含边界），则 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最小值为.

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7、从公比不为1的正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为．

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8、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，满足 $a + 2 b = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b \leq 2$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \leq 1$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{16}{5}$ D、 $3^{a} + 9^{b} \geq 18$

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9、已知一几何体上半部分为圆台 $P O$ ，下半部分为圆锥 $S O$ ，其中圆锥 $S O$ 底面的半径为 $r$ ，高为 $h$ ．圆台 $P O$ 的两底面的半径分别为 $r$ 和 $\frac{\sqrt{21}}{7} r$ ，高为 $2 h$ ．该几何体内接于表面积为 $100 π$ 的球，则圆台 $P O$ 的体积为（）

A、 $(10 + \sqrt{21}) π$ B、 $2 (10 + \sqrt{21}) π$ C、 $4 (10 + \sqrt{21}) π$ D、 $6 (10 + \sqrt{21}) π$

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，称点 $P (x_{0}, y_{0})$ 和直线 $l : \frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ 是椭圆 $C$ 的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当 $P$ 在圆外时，其极线 $l$ 是椭圆从点 $P$ 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知 $P$ 是直线 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 上的一个动点，过点 $P$ 向椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 引两条切线，切点分别为 $M, N$ ，直线 $M N$ 恒过定点 $T$ ，当 $\vec{M T} = \vec{T N}$ 时，直线 $M N$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y - 4 = 0$ B、 $x + 2 y + 4 = 0$ C、 $2 x - y - 4 = 0$ D、 $2 x + y - 4 = 0$

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11、已知 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{9} x^{9}$ ，则 $a_{2}$ 的值为（）

A、 $60$ B、 $80$ C、 $84$ D、 $120$

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12、在复平面内，复数 $z = (sin α - 2 sin β) + (cos α - 2 cos β) i$ （i为虚数单位）与点 $Z (\sqrt{3}, 1)$ 对应，则 $cos (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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13、在公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{s} + a_{t} = 2 a_{3}$ ，则 $\frac{4}{s} + \frac{1}{t}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{9}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{3}{2}$

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14、已知复数 $z = \frac{3 - 4 i}{2 + i}$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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15、设集合 $M = \{y |y = 2 x, x \in [- 1, 1]\}$ ， $N = \{x |y = \log_{2} (1 - x)\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[- 2 ， 1)$ D、 $[- 2 ， 1]$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} - 1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n} - 1}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{n a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{2 n - 1} \cdot b_{2 n + 1}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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17、对于一个函数 $f (x)$ 和两个点 $M (a, b)$ ， $N (c, d)$ ，给出如下定义：记： $γ (x) = \sqrt{{(x - a)}^{2} + {(f (x) - b)}^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + {(f (x) - d)}^{2}}$ ，若 $P (x_{0}, f (x_{0}))$ 满足 $γ (x_{0}) = λ$ ，则称P是M，N视角下 $f (x)$ 的“基于 $λ$ 的回点”.

(1)、若 $f (x) = e^{x} \sin x$ ，点 $M (1, 1)$ ， $N (- 1, - 1)$ ，求：M，N视角下 $f (x)$ 的基于 $2 \sqrt{2}$ 的回点P的坐标；

(2)、若 $f (x) = a e^{x}$ ， $(0 < a \leq 1)$ ，对于点 $M (- 1, 0)$ ， $N (1, 0)$ ，若M，N视角下 $f (x)$ 的“基于 $2 \sqrt{2}$ 的回点”恰有两个，记为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，求证：直线 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的斜率 $k < \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = e$ （e为自然对数的底），且 $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + A a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、当 $A = 0$ 时，令 $b_{n} = \ln a_{n}$ ，求 $b_{n}$ 的通项公式及其前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、当 $A = 1$ 时，令 $c_{n} = \frac{1}{1 + a_{n}}$ ， $T_{n} = c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n}$ ， $R_{n} = c_{1} \times c_{2} \times \dots \times c_{n}$ ，求 $e T_{n} + R_{n}$ 的值.

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19、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B // C D$ ， $D C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $A B = B C = A D = 1$ ，点 $E$ 和 $F$ 分别在侧棱 $A A_{1}$ 、 $C C_{1}$ 上，且 $A_{1} E = C F = 1$ ．
（1）求证： $B C //$ 平面 $D_{1} E F$ ；
（2）求直线 $A D$ 与平面 $D_{1} E F$ 所成角的正弦值．

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20、已知锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足 $b \cos C = a - 2 \cos B$ .

(1)、求c的值；

(2)、若 $\tan C (\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B}) = \frac{4}{3}$ ，求 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的值.

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