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相关试卷

1、设 $cos (α + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $sin (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{14}}{4}$

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2、若复数 $z = 1 - i^{2025}$ ，则 $|\frac{\bar{z}}{z}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3、函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，该结论可以推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．已知函数 $g (x) = \frac{2}{2^{x} + m} (m > 0)$ ．（）

A、若 $m = 1$ ，则函数 $y = g (x) - 1$ 为奇函数 B、若 $m = 1$ ，则 $g (- 10) + g (- 9) + \cdot \cdot \cdot + g (9) + g (10) = 20$ C、函数 $g (x)$ 的图象必有对称中心 D、 $\forall x \in R$ ， $g [\log_{2} (2 m) + x] + g [\log_{2} (2 m) - x] < \frac{2}{m}$

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |x + 1|, x \leq 0 \\ |{l o g}_{4} x|, x > 0 \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) = k$ 有4个不同的根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{4}{x_{3} x_{4}^{2}} - x_{4} (x_{1} + x_{2})$ 的取值范围是（）

A、 $[4 \sqrt{2}, 6)$ B、 $[2, 4 \sqrt{2})$ C、 $(2, 4 \sqrt{2}]$ D、 $[4 \sqrt{2}, 9]$

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5、若 $\forall θ \in R$ ， $\exists x \in [\frac{π}{3} + θ, m + θ]$ ，使得 $\sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{7 π}{6}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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6、已知正数 $x, y$ 满足 $x + y + x y = 3$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x y$ 的最大值为1 B、 $x + y$ 的最小值为4 C、 $\frac{3 - x - y}{x^{2} + y^{2}}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1}$ 的最小值为1

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7、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ ， $Q$ 为抛物线上一个动点， $P (2, 1)$ ，则（）

A、 $F$ 的坐标为 $(1, 0)$ B、 $|A B|$ 的最小值为2 C、若 $Q (1, 2)$ ，则过 $Q$ 与抛物线相切的直线的方程为 $y = x + 1$ D、 $|P Q| + |Q F|$ 的最小值为3

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8、已知函数 $f (x), g (x)$ 是定在 $R$ 上的函数，且满足关系 $g (x) = f (x) \cdot f (x + \frac{π}{2})$ ．

(1)、若 $f (x) = |\sin x| + \cos x$ ，若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $y = g (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (x) = |\sin x| + \cos x$ ，存在 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，对任意 $x \in R$ ，有 $g (x_{1}) \leq g (x) \leq g (x_{2})$ 恒成立，求 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值；

(3)、若 $f (x) = \cos x + \sin x$ ，要使得 $F (x) = a \sin x + g (x)$ 在 $(0, n π) (n \in N^{*})$ 内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的 $a$ 与 $n$ ．

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9、已知函数 $f (x) = 2 sin x cos x + \frac{{tan}^{2} x - 1}{{tan}^{2} x + 1}$

(1)、化简 $f (x)$

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 满足 $f (A) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $cos 2 A$ 的值

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10、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，求：

(1)、 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - 4 \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围．

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11、设i为虚数单位，复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，若 $\bar{z} = \frac{2 + i}{i^{2025}}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于第象限

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12、已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $A B = 5$ ， $A C = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为9，则 $B C =$ ．

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13、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ， $\vec{c} = (m - 2, n)$ ，其中 $m, n$ 均为正数，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 B、向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{b}$ C、 $m + 2 n = 2$ D、 $m n$ 的最大值为1

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14、已知 $cos α cos β = \frac{1}{4}$ ， $cos (α + β) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $sin α sin β = - \frac{1}{12}$ B、 $cos (α - β) = \frac{1}{6}$ C、 $tan α tan β = \frac{1}{3}$ D、 $sin 2 α sin 2 β = - \frac{1}{12}$

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15、已知 $sin (α - β) = \frac{1}{4}$ ， $tan α = 2 tan β$ ，则 $sin (α + β) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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16、复数 $z$ 满足 $\bar{z} = \frac{1}{2} | z | + 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + 3 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 3 i$ D、 $\sqrt{3} - 3 i$

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17、已知 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 3, \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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18、若复数 $z = i^{2} - 2 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $i$ D、 $i^{2}$

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 2)$ ，对任意 $x, y \in (- 2, 2)$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x + y)$ ，且当 $x \in$ $(0, 2)$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、求证： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、若 $f (- 1) = - 2$ ， $f (x) \leq t^{2} + a t - 1$ 对任意的 $x \in [- 1, 1]$ ， $a \in [- 2, 2]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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20、如图， $△ O A B$ 是边长为2的正三角形，记 $△ O A B$ 位于直线 $x = t (0 \leq t \leq 2)$ 左侧的图形的面积为 $f (t)$ .

(1)、试求函数 $y = f (t)$ 的解析式；

(2)、有同学发现，函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，试用此法证明：问题(1)中函数 $y = f (t)$ 的图象关于点 $P (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 成中心对称图形.

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