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相关试卷

1、已知边长为2的正四面体 $A - B C D$ 的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足 $\vec{O P} = x \vec{O C} + y \vec{O B} + z \vec{O D}, x 、 y 、 z \in [0, 1]$ ，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、． $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2、已知事件 $A$ 和事件 $B$ 满足 $A \cap B = \emptyset$ ，则下列说法正确的是（）．

A、事件 $A$ 和事件 $B$ 独立 B、事件 $A$ 和事件 $B$ 互斥 C、事件 $A$ 和事件 $B$ 对立 D、事件 $\bar{A}$ 和事件 $\bar{B}$ 互斥

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3、已知 $α \in (0,π)$ ，则“ $sin (π - α) = \frac{1}{2}$ ”是“ $cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）条件．

A、充要 B、充分非必要 C、必要非充分 D、既非充分又非必要

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4、已知项数为10的数列 $\{a_{n}\}$ 中任一项均为集合 ${x | 1 \leq x \leq 10, x \in N}$ 中的元素，且相邻两项满足 $a_{n} < a_{n + 1} + 3, n = 1, 2, \dots, 9$ ．若 $\{a_{n}\}$ 中任意两项都不相等，则满足条件的数列 $\{a_{n}\}$ 有个．

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5、2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为．（用含有H、h、m、t的式子表示）

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6、双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，若以点 $F_{2}$ 为焦点的抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与 $C_{1}$ 在第一象限交于点P，且 $∠ P F_{1} F_{2} = \frac{π}{4}$ ，则 $C_{1}$ 的离心率为．

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7、如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角 $A - B C - D$ 的大小为 $\frac{π}{6}$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} =$ ．

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8、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - x, x \geq 0 \\ f (- x), x < 0 \end{array}$ ，则 $f (x) \leq 6$ 的解集是．

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9、已知非零复数 $z$ 满足 $|z - 1| = 1, |\bar{z} - i| = 1$ ，则 $z$ 的虚部为．

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10、若某圆锥的底面半径为 $1$ ，高为 $1$ ，则该圆锥的侧面积为．（结果保留 $π$ ）

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11、设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则函数 $y = 2 + {log}_{a} x$ 的图像恒过的定点坐标为．

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12、在 ${(x - 2)}^{6}$ 的二项展开式中， $x^{3}$ 项的系数为．

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13、若 $tanα = 5$ ，则 $tan 2 α =$ ．

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14、函数 $y = ln \frac{x}{x - 1}$ 的定义域是．

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15、已知集合 $A = \{x| |x| < 2\}, B = \{1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 离心率等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，长轴长为4.

(1)、求椭圆的标准方程 $C$ ；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与轨迹 $C$ 交于 $M ， N$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O M ， O N$ 的斜率之积等于 $- \frac{1}{4}$ ，试探究 $△ O M N$ 的面积是否为定值，并说明理由.

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17、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 \ln x$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求证：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 2 - \frac{1}{a}$ ．

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18、牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入80万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少 $\frac{1}{5}$ ，本年度牧草销售收入估计为60万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加 $\frac{1}{4}$ .

(1)、设n年内总投入金额为 $a_{n}$ 万元，牧草销售总收入为 $b_{n}$ 万元，求 $a_{n}, b_{n}$ 的表达式；

(2)、至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入? ( $\lg 2 \approx 0.30, \lg 3 \approx 0.48$ )

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} + a_{7} = 10 ， S_{10} = 55 .$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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20、已知圆 $M$ 的圆心为 $(1, 1)$ ，且与直线 $l_{1} : x - y + 4 = 0$ 相切.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、设直线 $l_{2} : 3 x - 4 y + 6 = 0$ 与圆M交于A，B两点，求 $|A B|$ .

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